Найдите наибольшее и наименьшее значение функции. f (x( = x2+8/x+1 на [ 0,3]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 + \frac{8}{x} + 1 \) на интервале \([0, 3]\), следуем следующим шагам:
Определим область определения функции. Функция определена при \( x > 0 \) из-за выражения \( \frac{8}{x} \). Таким образом, на интервале \([0, 3]\) мы будем рассматривать значения \( x \) от \( 0 \) до \( 3 \), но \( x = 0 \) не включается из-за разрыва.
Найдём производную функции. Для этого найдем \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x - \frac{8}{x^2} \]
Найдем критические точки. Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 2x - \frac{8}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[3]{4} \approx 1.5874 \] Эта точка находится в заданном интервале.
Вычислим значения функции в критической точке и на концах интервала.
- \( f(\sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{4})^2 + \frac{8}{\sqrt[3]{4}} + 1 \)
- Также проверим значения на границе:
- \( f(0.1) \) (примерно)
- \( f(3) = 3^2 + \frac{8}{3} + 1 = 9 + \frac{8}{3} + 1 = 9 + 2.67 + 1 = 12.67 \)
Сравним все найденные значения.
- Вычислим \( f(\sqrt[3]{4}) \): \[ f(\sqrt[3]{4}) = \left( \sqrt[3]{4} \right)^2 + \frac{8}{\sqrt[3]{4}} + 1 = \sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1 \approx 2.52 + 2 \cdot 1.5874 + 1 \approx 2.52 + 3.1748 + 1 \approx 6.6948 \]
- \( f(0.1) \approx 0.01 + 80 + 1 = 81.01 \) (так как \( \frac{8}{0.1} = 80 \))
- \( f(3) = 12.67 \)
Наибольшее и наименьшее значения.
- Наименьшее значение функции на интервале \([0, 3]\) — \( \sqrt[3]{4} \), \( f(\sqrt[3]{4}) \approx 6.6948 \).
- Наибольшее значение функции — приблизительно \( f(0.1) \approx 81.01 \).
Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \([0, 3]\) равно \( f(\sqrt[3]{4}) \approx 6.6948 \), а наибольшее значение — \( f(0.1) \approx 81.01 \).
