Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного…
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решим задачу поэтапно.
Обозначим количество 30-процентного раствора как \( x \) кг, а количество 60-процентного раствора как \( y \) кг.
Первое условие: с добавлением 10 кг воды получаем 36% раствор. При добавлении 10 кг чистой воды общий вес раствора составит \( x + y + 10 \) кг. Содержимое кислоты в 30-процентном растворе составит \( 0.3x \) кг, а в 60-процентном — \( 0.6y \) кг. Уравнение для процентного содержания кислоты выглядит так:
\[ \frac{0.3x + 0.6y}{x + y + 10} = 0.36 \]
Умножим обе стороны на \( x + y + 10 \):
\[ 0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10) \]
Раскроем скобки:
\[ 0.3x + 0.6y = 0.36x + 0.36y + 3.6 \]
Перепишем уравнение, собрав все слагаемые на одну сторону:
\[ 0.3x + 0.6y - 0.36x - 0.36y - 3.6 = 0 \]
Упростим:
\[ -0.06x + 0.24y - 3.6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0.06x = 0.24y - 3.6 \]
Умножим уравнение на 100 для удобства:
\[ 6x = 24y - 360 \]
Упростим:
\[ 6x - 24y = -360 \quad \Rightarrow \quad x - 4y = -60 \quad \text{(1)} \]
Второе условие: с добавлением 10 кг 50-процентного раствора получаем 41% раствор. Теперь общий вес смеси составит \( x + y + 10 + 5 \) (10 кг раствора, в котором 50% кислоты добавляет 5 кг кислоты).
Уравнение для процентного содержания кислоты будет:
\[ \frac{0.3x + 0.6y + 5}{x + y + 15} = 0.41 \]
Умножим обе стороны на \( x + y + 15 \):
\[ 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 15) \]
Раскроем скобки:
\[ 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41x + 0.41y + 6.15 \]
Перепишем уравнение, собрав все слагаемые на одну сторону:
\[ 0.3x + 0.6y + 5 - 0.41x - 0.41y - 6.15 = 0 \]
Упростим:
\[ -0.11x + 0.19y - 1.15 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0.11x = 0.19y - 1.15 \]
Умножим на 100:
\[ 11x = 19y - 115 \quad \Rightarrow \quad 11x - 19y = -115 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x - 4y = -60 \)
- \( 11x - 19y = -115 \)
Решим систему. Из первого уравнения выразим \( x \):
\[ x = 4y - 60 \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 11(4y - 60) - 19y = -115 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 44y - 660 - 19y = -115 \] \[ 25y - 660 = -115 \] \[ 25y = 545 \] \[ y = 21.8 \]
Теперь найдем \( x \):
\[ x = 4(21.8) - 60 = 87.2 - 60 = 27.2 \]
Таким образом, количество 30-процентного раствора, использованного для получения смеси, составляет примерно 27.2 кг.
