Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали из на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочках Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 35. Какое число назвала Анна?

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

1. У Анны и Бориса есть по три различных положительных целых числа. Обозначим числа Анны как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса — как \( B_1, B_2, B_3 \). Из условия задачи известно, что на их листочках ровно одно общее число. Обозначим это общее число как \( x \).

2. Условия задачи же также говорят, что сумма любых двух различных чисел Анны даёт одно из чисел Бориса. Это значит, что:

   • \( A_1 + A_2 = B_i \)
   • \( A_1 + A_3 = B_j \)
   • \( A_2 + A_3 = B_k \) где \( B_i, B_j, B_k \) — это разные числа Бориса.

3. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Борис назвал число 35, и это одно из \( B_i, B_j, B_k \). Мы можем предположить, что это число может быть:

   • \( 35 = 3k \) (где \( k \) — число, которое назвала Анна). Таким образом, \( k = \frac{35}{3} \), что не является целым числом.

4. Но есть возможность, что 35 — это не то число, из-за которого Анна должна была называть своё число. Давайте найдём другие варианты.

5. Рассмотрим возможные числа Бориса. Если одно из чисел Бориса — это 35, то стоит проверить, какое число могло бы быть общим. Пусть общее число \( x \), тогда предположим, что \( x = k \), тогда:

   • \( A_1 = k \), и учитывая условие «в 3 раза меньше», можно выразить одно из чисел Бориса через \( k \). Это значит, что \( B_1 = 3k \), а также нужно проверить, как другие числа могут складываться.

6. Теперь проверим более простым путём:

   • Поскольку 35 — одно из чисел Бориса, возможно, если числа Бориса такие: \( B_1 = 35 \), \( B_2 = 2k \), \( B_3 = k + 35 \), тогда можно проверить:
     • Если \( k = 5 \), тогда Анна назовёт число \( 5 \), поскольку оно в 3 раза меньше \( 15 \), и при этом:
     • \( x = 5 \) — общее, \( A_1 = 5 \), \( A_2 = 30 \), и тогда выполняются условия задачи.

Таким образом, число, которое назвала Анна, вероятно, равно 5.