При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды?

Question 1

Задача Задача №1867828

А

Аноним

15 октября 2024 15:28 · публичный вопрос

А

Аноним 15 октября 2024 15:28

При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды?

Answer

Чтобы понять, сколько кнопок было нажато трижды, начнем с анализа задачи.

У нас есть три человека: Вася, Коля и Петя, которые нажали на кнопки лифта:

Вася нажал 12 кнопок.
Коля нажал 14 кнопок.
Петя нажал 19 кнопок.

Изначально все кнопки были выключены. В результате на всех 23 этажах кнопки загорелись. Это означает, что каждую кнопку нужно было нажать нечетное количество раз (тогда она загорится, так как начинается с выключенного состояния).

Теперь введем переменные, чтобы упростить подсчеты:

Пусть \( x \) — количество кнопок, нажанных трижды.
Пусть \( y \) — количество кнопок, нажанных дважды.
Пусть \( z = 23 - x - y \) — количество кнопок, нажанных один раз.

Теперь мы можем установить два уравнения.

Общее количество нажатий: \[ 12 + 14 + 19 = 45 \] Это означает, что общее количество нажатий кнопок равно 45.
Каждая кнопка, которая была нажата один раз, добавляет 1 к общему числу нажатий, каждая кнопка, которая была нажата дважды, добавляет 2, и каждая — трижды добавляет 3: \[ x + 2y + 3z = 45 \]

Теперь можем подставить \( z \) из первого уравнения: \[ x + 2y + 3(23 - x - y) = 45 \]

Раскроем скобки: \[ x + 2y + 69 - 3x - 3y = 45 \] Упрощаем уравнение: \[ -2x - y + 69 = 45 \] \[ -2x - y = 45 - 69 \] \[ -2x - y = -24 \] Таким образом, переместим все в одну сторону: \[ 2x + y = 24 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\( x + y + z = 23 \)
\( 2x + y = 24 \)

Второе уравнение можно перезаписать, выразив \( y \): \[ y = 24 - 2x \]

Теперь подставим \( y \) во первое уравнение: \[ x + (24 - 2x) + z = 23 \] \[ x + 24 - 2x + z = 23 \] Упрощаем: \[ -z - x + 24 = 23 \] \[ -z - x = -1 \] Таким образом: \[ z + x = 1 \]

Теперь мы можем найти количество кнопок, нажанных трижды: Подставим значение \( z \) из \( z = 1 - x \) в \( 2x + (24 - 2x) = 24 \): Поставим \( 1 \) в первого уравнения: \[ x + y + 1 = 23 \quad \Rightarrow \quad x + y = 22 \] Подставляя \( y = 24 - 2x \): \[ x + 24 - 2x = 22 \] \[ -x + 24 = 22 \quad \Rightarrow \quad -x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

Таким образом, количество кнопок, нажанных трижды, равно 2.

Question 2

При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды?

Answer

Чтобы понять, сколько кнопок было нажато трижды, начнем с анализа задачи. У нас есть три человека: Вася, Коля и Петя, которые нажали на кнопки лифта: - Вася нажал 12 кнопок. - Коля нажал 14 кнопок. - Петя нажал 19 кнопок. Изначально все кнопки были выключены. В результате на всех 23 этажах кнопки загорелись. Это означает, что каждую кнопку нужно было нажать нечетное количество раз (тогда она загорится, так как начинается с выключенного состояния). Теперь введем переменные, чтобы упростить подсчеты: - Пусть \( x \) — количество кнопок, нажанных трижды. - Пусть \( y \) — количество кнопок, нажанных дважды. - Пусть \( z = 23 - x - y \) — количество кнопок, нажанных один раз. Теперь мы можем установить два уравнения. 1. Общее количество нажатий: \[ 12 + 14 + 19 = 45 \] Это означает, что общее количество нажатий кнопок равно 45. 2. Каждая кнопка, которая была нажата один раз, добавляет 1 к общему числу нажатий, каждая кнопка, которая была нажата дважды, добавляет 2, и каждая — трижды добавляет 3: \[ x + 2y + 3z = 45 \] Теперь можем подставить \( z \) из первого уравнения: \[ x + 2y + 3(23 - x - y) = 45 \] Раскроем скобки: \[ x + 2y + 69 - 3x - 3y = 45 \] Упрощаем уравнение: \[ -2x - y + 69 = 45 \] \[ -2x - y = 45 - 69 \] \[ -2x - y = -24 \] Таким образом, переместим все в одну сторону: \[ 2x + y = 24 \] Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( x + y + z = 23 \) 2. \( 2x + y = 24 \) Второе уравнение можно перезаписать, выразив \( y \): \[ y = 24 - 2x \] Теперь подставим \( y \) во первое уравнение: \[ x + (24 - 2x) + z = 23 \] \[ x + 24 - 2x + z = 23 \] Упрощаем: \[ -z - x + 24 = 23 \] \[ -z - x = -1 \] Таким образом: \[ z + x = 1 \] Теперь мы можем найти количество кнопок, нажанных трижды: Подставим значение \( z \) из \( z = 1 - x \) в \( 2x + (24 - 2x) = 24 \): Поставим \( 1 \) в первого уравнения: \[ x + y + 1 = 23 \quad \Rightarrow \quad x + y = 22 \] Подставляя \( y = 24 - 2x \): \[ x + 24 - 2x = 22 \] \[ -x + 24 = 22 \quad \Rightarrow \quad -x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Таким образом, количество кнопок, нажанных трижды, равно **2**.