Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 35. Какое число назвала Анна?

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Пусть числа Анны обозначим как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса – как \( B_1, B_2, B_3 \). Из условия нам известно, что:

1. У Анны и Бориса ровно одно общее число. Обозначим это число как \( x \).
2. Если сложить любые два различных числа Анны, то получится одно из чисел Бориса. Это означает, что для любого \( A_i \) и \( A_j \) (где \( i \neq j \)) выполняется \( A_i + A_j = B_k \) для некоторого \( k \).
3. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса, а Борис назвал число 35.

Теперь, так как Борис назвал 35, нужно выяснить, возможно ли, чтобы это число было одним из чисел \( B_1, B_2, B_3 \).

1. Предположим, что \( B_1 = 35 \). В этом случае, согласно условию, одно из чисел Анны должно быть равно \( \frac{35}{3} \), что не является целым числом. Значит, 35 не может быть \( B_1 \).
2. Если \( B_2 = 35 \), то аналогично: \( \frac{35}{3} \) не дает целое число. Таким образом, 35 также не может быть \( B_2 \).
3. Если \( B_3 = 35 \), аналогично, \( \frac{35}{3} \) не будет целым числом.

Таким образом, если 35 не может являться ни одним из чисел Бориса в нашем предположении с \( B_1, B_2, B_3 \), мы должны найти возможность для других чисел Бориса так, чтобы число, названное Анной, соответствовало описанному условию.

Теперь, учитывая, что Анна назвала число в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса, возможно, что число Бориса больше 35.

Давайте попробуем найти потенциальные числа для Бориса. Например, если одно из чисел Бориса будет 60, тогда Анна могла назвать число 20 (\( 60 : 3 = 20 \)). В этом случае, 20 должно быть одним из чисел Анны.

Как итог, давайте подытожим: если предположить, что одно из чисел Бориса, к примеру, 60, тогда Анна назвала число 20. То есть ответ на вопрос: Анна назвала число 20.

Таким образом, числом, которое назвала Анна, является 20.