Маше Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопками каждая из которых загорается при нажатии а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела . Сначала маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина на 18 а, эрика на 20. В результате все кнопки загорелись. сколько кнопок было нажато трижды?

Для решения задачи давайте обозначим количество раз, когда каждая кнопка была нажата, для удобства:

• \( n_1 \) — количество кнопок, которые были нажаты один раз,
• \( n_2 \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды,
• \( n_3 \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Всего у нас 25 кнопок, и после нажатия всех кнопок они должны загореться. Маша нажала на 17 кнопок, Полина на 18, а Эрика на 20. Сначала найдем общее количество нажатий кнопок:

\[ N = 17 + 18 + 20 = 55 \]

Каждая кнопка загорается при первом нажатии и гаснет при втором. Если все кнопки загорелись, это значит, что на каждую из 25 кнопок было нажатие четное количество раз. Таким образом, общее количество нажатий \( N \) должно быть четным. Есть 25 кнопок, записываем уравнение для общего количества нажатий:

\[ N = n_1 + 2n_2 + 3n_3 \]

Поскольку нам известно общее количество нажатий:

\[ n_1 + n_2 + n_3 = 25 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( n_1 + n_2 + n_3 = 25 \)
2. \( n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 55 \)

Мы можем выразить \( n_1 \) из первого уравнения:

\[ n_1 = 25 - n_2 - n_3 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (25 - n_2 - n_3) + 2n_2 + 3n_3 = 55 \]

Упростим:

\[ 25 + n_2 + 2n_3 = 55 \]

Отсюда найдем количество кнопок, на которые было нажато дважды и трижды:

\[ n_2 + 2n_3 = 30 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( n_2 + n_3 = 30 - 25 = 5 \)
2. \( n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 55 \)

Теперь, подставляя \( n_2 = 5 - n_3 \) во второе уравнение и решая его, мы сможем найти \( n_2 \) и \( n_3 \).

Решив эту систему, найдём:

1. \( n_1 + 2(5 - n_3) + 3n_3 = 55 \)
2. \( n_1 + 10 - 2n_3 + 3n_3 = 55 \)
3. \( n_1 + n_3 = 45 \)

Далее подставляем \( n_1 = 25 - n_2 - n_3\):

Теперь мы можем найти \( n_3 \), используя известное значение. Пробуем разные значения \( n_3 \) (максимум может быть 25):

Решая систему, в итоге приходит к тому, что:

\[ n_2 = 12, n_3 = 13. \]

Таким образом, кнопок, на которые было нажато трижды, \( n_3 = 13 \).

Всего 13 кнопок были нажаты трижды.