Маше Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопками каждая из которых загорается при нажатии а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не…
Маше Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопками каждая из которых загорается при нажатии а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела . Сначала маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина на 18 а, эрика на 20. В результате все кнопки загорелись. сколько кнопок было нажато трижды?
Давайте рассмотрим ситуацию по шагам.
У нас есть 25 кнопок, изначально все они выключены. Когда кто-то нажимает на кнопку, она загорается, и при повторном нажатии гаснет.
Нажатия Маши: Маша нажала на 17 различных кнопок. После этого 17 кнопок загорелись.
Нажатия Полины: Полина нажала на 18 кнопок, не уточняется, были ли среди них уже нажатые кнопки Маши. Если Полина нажала на 18 кнопок, то всего у нас может быть:
- 17 уникальных кнопок от Маши
- 18 кнопок от Полины
Нажатия Эрики: Эрика нажала на 20 кнопок. Обсудим возможные ситуации с пересечениями.
Поскольку в результате все 25 кнопок загорелись, это означает, что было использовано всех 25 различных кнопок. Теперь необходимо понять, сколько кнопок было нажато трижды, то есть на каких кнопках Маша, Полина и Эрика нажимали по разу.
Пусть:
- \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды.
- \( y \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды.
Тогда можем записать уравнения по количеству нажатий:
Общее количество нажатий: \[ 17 + 18 + 20 = 55 \]
Кнопок, которые были нажаты один раз: \[ 25 - (x + y) \] Эти кнопки привели к 1 разу нажатия.
Кнопок, которые были нажаты дважды: \[ 2x \]
Кнопок, которые были нажаты трижды: \[ 3y \]
Теперь составим уравнение по количеству нажатий:
\[ (25 - (x + y)) + 2x + 3y = 55 \]
Упростим уравнение: \[ 25 - x - y + 2x + 3y = 55 \]
Это можно переписать как: \[ 25 + x + 2y = 55 \]
Теперь решим это уравнение: \[ x + 2y = 30 \]
Таким образом, у нас есть система уравнений:
- \( x + 2y = 30 \)
- \( x + y + z = 25 \) (где \( z \) — количество кнопок, нажимаемых один раз)
Поскольку все кнопки в итоге были нажаты не менее одного раза, мы знаем, что сумма всех уникальных нажатий должна составлять 25 кнопок. В данной системе уравнений можно решить, подставляя разные значения для \( y \):
При \( y = 0 \): \[ x = 30 \quad (невозможно, т.к. x не может быть больше 25) \]
При \( y = 12 \): \[ x = 30 - 2(12) = 6 \]
При \( y = 10 \): \[ x = 30 - 2(10) = 10 \]
Таким образом, когда \( y = 10 \), \( x = 10 \) можно подставить значение обратно в уравнения и определить, что 10 кнопок были нажаты трижды.
Следовательно, количество кнопок, на которые нажали трижды, составляет 10.
