Из клетчатого квадрата 8 х 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Пусть \( n \) — количество вырезанных клеток. Исходный квадрат \( 8 \times 8 \) содержит \( 64 \) клеток. После вырезания \( n \) клеток остаётся \( 64 - n \) клеток.

Эту оставшуюся фигуру необходимо разбить на квадраты со сторонами \( 1 \) и \( 2 \) так, чтобы количество квадратов обоих типов было одинаковым. Обозначим количество квадратов со стороной \( 1 \) и \( 2 \) как \( k \). Тогда:

• Количество квадратов со стороной \( 1 \): \( k \)
• Количество квадратов со стороной \( 2 \): \( k \)

Считаем количество клеток, занимаемых этими квадратами:

• Квадраты со стороной \( 1 \) занимают \( k \) клеток.
• Квадраты со стороной \( 2 \) занимают \( 2 \cdot 2k = 4k \) клеток.

Таким образом, общее количество клеток, занимаемое этими квадратами, равно:

\[ k + 4k = 5k \]

Поскольку у нас остаётся \( 64 - n \) клеток, то мы можем записать равенство:

\[ 64 - n = 5k \]

Теперь можно выразить количество вырезанных клеток \( n \):

\[ n = 64 - 5k \]

Значит, \( n \) должно быть неотрицательным, то есть:

\[ 64 - 5k \geq 0 \implies 64 \geq 5k \implies k \leq \frac{64}{5} = 12.8 \]

Так как \( k \) должно быть целым числом, это означает, что \( k \) может принимать значения от \( 0 \) до \( 12 \).

Давайте подставим допустимые значения \( k \) и найдём соответствующее \( n \):

• Если \( k = 0 \): \( n = 64 - 5 \cdot 0 = 64 \)
• Если \( k = 1 \): \( n = 64 - 5 \cdot 1 = 59 \)
• Если \( k = 2 \): \( n = 64 - 5 \cdot 2 = 54 \)
• Если \( k = 3 \): \( n = 64 - 5 \cdot 3 = 49 \)
• Если \( k = 4 \): \( n = 64 - 5 \cdot 4 = 44 \)
• Если \( k = 5 \): \( n = 64 - 5 \cdot 5 = 39 \)
• Если \( k = 6 \): \( n = 64 - 5 \cdot 6 = 34 \)
• Если \( k = 7 \): \( n = 64 - 5 \cdot 7 = 29 \)
• Если \( k = 8 \): \( n = 64 - 5 \cdot 8 = 24 \)
• Если \( k = 9 \): \( n = 64 - 5 \cdot 9 = 19 \)
• Если \( k = 10 \): \( n = 64 - 5 \cdot 10 = 14 \)
• Если \( k = 11 \): \( n = 64 - 5 \cdot 11 = 9 \)
• Если \( k = 12 \): \( n = 64 - 5 \cdot 12 = 4 \)

Таким образом, возможные значения для количества вырезанных клеток \( n \) равны:

\[ 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64 \]

Таким образом, возможные значения количества клеток, которые могли быть вырезаны, — это \( 0, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64 \).

Важно отметить, что вырезанные клетки не должны нарушать возможность разбивки оставшейся фигуры на квадраты заданных размеров. Но сам набор возможностей для вырезания клеток остаётся в рамках \( 0 \) до \( 64 \), согласно найденным значениям.