Решите неравенство:а)2х^2+13х-7>0;б)-9х^2+12х-4<0

Конечно! Давайте решим оба неравенства шаг за шагом.

а) \(2x^2 + 13x - 7 > 0\)

1. Найдите корни уравнения \(2x^2 + 13x - 7 = 0\) с помощью формулы дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 \]

2. Найдите корни:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7 \]

3. Постройте числовую линию и найдите интервалы, учитывая корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -7\). Это дает следующие интервалы: \((-∞, -7)\), \((-7, \frac{1}{2})\) и \((\frac{1}{2}, +∞)\).

4. Проверьте знак выражения на каждом интервале:

   • Для \(x < -7\) (например, \(x = -8\)): \(2(-8)^2 + 13(-8) - 7 = 128 - 104 - 7 = 17 > 0\) (положительный)
   • Для \(-7 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \(2(0)^2 + 13(0) - 7 = -7 < 0\) (отрицательный)
   • Для \(x > \frac{1}{2}\) (например, \(x = 1\)): \(2(1)^2 + 13(1) - 7 = 2 + 13 - 7 = 8 > 0\) (положительный)

5. Итак, неравенство выполняется на интервалах \((-∞, -7)\) и \((\frac{1}{2}, +∞)\).

Ответ:

\[ x \in (-∞, -7) \cup \left(\frac{1}{2}, +∞\right) \]

б) \(-9x^2 + 12x - 4 < 0\)

1. Найдите корни уравнения \(-9x^2 + 12x - 4 = 0\):

   \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0 \]

2. Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

   \[ x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \cdot (-9)} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]

3. Теперь проанализируем знак \(-9(x - \frac{2}{3})^2 < 0\).

   Так как \(-9\) является отрицательным коэффициентом, выражение \((x - \frac{2}{3})^2\) всегда неотрицательно, и оно будет равно нулю только в точке \(x = \frac{2}{3}\).

4. Следовательно, неравенство выполняется вне этой точки. То есть, \(-9(x - \frac{2}{3})^2 < 0\) выполняется для всех остальных значений \(x\).

Ответ:

\[ x \in (-∞, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, +∞) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!