Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна…
Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина на 18, а Эрика на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?
Для решения этой задачи можно использовать принципы включения-выключения.
Давайте обозначим количество кнопок, которые были нажаты следующими буквами:
- \( a \): количество кнопок, которые нажали только Машу.
- \( b \): количество кнопок, которые нажали только Полина.
- \( c \): количество кнопок, которые нажали только Эрика.
- \( x \): количество кнопок, которые нажали дважды, т.е. кнопки, которые нажали два из трёх (Маша, Полина или Эрика).
- \( y \): количество кнопок, которые нажали все трое, то есть трижды.
Из условия у нас есть следующие данные:
- Маша нажала 17 кнопок.
- Полина нажала 18 кнопок.
- Эрика нажала 20 кнопок.
- Всего кнопок = 25.
- В результате все кнопки загорелись.
Мы можем составить уравнение для общего количества нажатых кнопок:
\[ a + b + c + x + y = 25 \]
Также известно, что общее количество нажатий кнопок равно:
\[ 17 + 18 + 20 = 55. \]
В этом уравнении также учитываются нажатия кнопок, которые были нажаты дважды и трижды:
\[ a + b + c + 2x + 3y = 55. \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a + b + c + x + y = 25 \)
- \( a + b + c + 2x + 3y = 55 \)
Из первого уравнения выразим \( a + b + c \):
\[ a + b + c = 25 - x - y. \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ (25 - x - y) + 2x + 3y = 55 \]
Упрощая, получаем:
\[ 25 - x - y + 2x + 3y = 55 \]
\[ 25 + x + 2y = 55 \]
Теперь вычтем 25 из обеих сторон:
\[ x + 2y = 30. \]
Теперь у нас есть две переменные \( x \) и \( y \):
- \( a + b + c + x + y = 25 \)
- \( x + 2y = 30 \)
Из второго уравнения выразим \( x \):
\[ x = 30 - 2y. \]
Подставим \( x \) в первое уравнение:
\[ a + b + c + (30 - 2y) + y = 25, \]
что приводит к:
\[ a + b + c + 30 - y = 25. \]
Сопряжая это, получаем:
\[ a + b + c - y = -5, \]
то есть:
\[ a + b + c = y - 5. \]
Теперь подставляем значение \( a + b + c \) из первого уравнения:
\[ 25 - (30 - 2y) - y = -5. \]
Это сложное уравнение упрощается, и после нахождения значений \( x \) и \( y \), мы можем выяснить значение кнопок, нажатых трижды.
Зная, что все кнопки загорелись, у нас остается:
\[ y = 5. \]
Таким образом, кнопок, которые были нажаты трижды, всего 5.
