Из клетчатого квадрата 9 x 9 вырезали часть угловых клеток,а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так,чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.Сколько…

Давайте подробнее рассмотрим задачу.

У нас есть квадрат 9 x 9, что означает, что в нем 81 клетка. Мы вырезаем часть угловых клеток и оставшуюся фигуру разбиваем на квадраты со сторонами 1 и 3. При этом количество квадратов каждого типа должно быть одинаковым.

Обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( n \), и тогда, согласно условию, количество квадратов со стороной 3 также будет равно \( n \).

Теперь давайте посчитаем, сколько клеток занято разными типами квадратов:

• Один квадрат со стороной 1 занимает 1 клетку.
• Один квадрат со стороной 3 занимает \( 3 \times 3 = 9 \) клеток.

Общая площадь, занимаемая квадратами, составит: \[ n \cdot 1 + n \cdot 9 = n + 9n = 10n. \]

Площадь оставшейся фигуры после вырезания некоторого количества клеток будет равна: \[ 81 - k, \] где \( k \) — количество вырезанных клеток.

Таким образом, мы имеем уравнение: \[ 81 - k = 10n. \]

Отсюда мы можем выразить \( k \): \[ k = 81 - 10n. \]

Количество вырезанных клеток \( k \) должно быть неотрицательным, и значит: \[ 81 - 10n \geq 0 \] \[ 81 \geq 10n \] \[ n \leq 8.1. \]

Поскольку \( n \) — это целое число, максимальное значение \( n \) может быть равно 8. Далее, подставим возможные значения \( n \) от 0 до 8 и найдем соответствующее значение \( k \):

• Если \( n = 0 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 0 = 81 \).
• Если \( n = 1 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 1 = 71 \).
• Если \( n = 2 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 2 = 61 \).
• Если \( n = 3 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 3 = 51 \).
• Если \( n = 4 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 4 = 41 \).
• Если \( n = 5 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 5 = 31 \).
• Если \( n = 6 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 6 = 21 \).
• Если \( n = 7 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 7 = 11 \).
• Если \( n = 8 \), то \( k = 81 - 10 \cdot 8 = 1 \).

Таким образом, возможные значения для количества вырезанных клеток \( k \) составляют: 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11, и 1.

Итак, количество клеток, которые могло быть вырезано, составляет 9 вариантов: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, и 81.