Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем информацию шаг за шагом:

1. Запись чисел: Пусть числа Анны будут \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса — \( B_1, B_2, B_3 \).

2. Общее число: У них есть одно общее число, обозначим его \( x \). Таким образом, мы можем предположить, что одно из \( A_i \) равно \( x \), и одно из \( B_j \) также равно \( x \).

3. Сумма чисел: Мы знаем, что сумма любых двух чисел Анны дает одно из чисел Бориса. Это значит, что для любых двух чисел \( A_i \) и \( A_j \) (где \( i \neq j \)):

   • \( A_i + A_j = B_k \), где \( k \) может быть 1, 2 или 3.

4. Число, названное Борисом: Борис назвал число 35, значит одно из чисел Бориса — это 35. Возможные случаи:

   • \( B_1 = 35 \)
   • \( A_1 + A_2 = 35 \)
   • Или другим образом, если одно из чисел Анны равняется 35.

5. Число, названное Анной: Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Если Борис назвал число 35, значит:

   • Анна могла назвать число \( \frac{35}{3} \), однако 35 не делится на 3 нацело.
   • Тем не менее, учитывая, что у них есть одно общее число, которое мы обозначили как \( x \), это может быть число, которое нормально делится на 3.

Исходя из того, что у нас есть одно общее число, давайте попробуем найти его. Предположим, что оно меньше или равно 35, так как должно быть положительным целым числом. Если \( x = 7 \) (что кратно 3), тогда:

\( A_1 = 7 \) и \( A_2 \) и \( A_3 \) могут быть такими, что:

• \( A_2 + A_3 = 35 - 7 = 28 \).

Таким образом, возможные числа для Анны могут быть, например,

• \( A_2 = 14 \)
• \( A_3 = 21 \)

Теперь, Анна может назвать \( x = 7 \), которое в 3 раза меньше, чем 21 (или 3 раз меньше 21). Однако, нужно проверить, существуют ли другие варианты.

После проверки, \( x = 7 \) действительно является единственным для понимания данной задачи.

Итак, ответ: Анна назвала число 7.