В турнире по боссаболу за победу в каждом матче даётся 1 очко, за поражение 0 очков, ничьих не бывает. Организаторы решили провести турнир среди 12 команд. Турнир проводится по…
В турнире по боссаболу за победу в каждом матче даётся 1 очко, за поражение 0 очков, ничьих не бывает. Организаторы решили провести турнир среди 12 команд. Турнир проводится по круговой системе-каждая команда играет с каждой 1 раз. В каждом туре проходит 6 матчей: команды разбиваются на пары ещё не игравших друг с другом. Через какое наименьшее количество туров может наступить момент, когда не найдётся 3 команд, набравших одинаковое количество баллов
В турнире среди 12 команд, каждую из которых можно поиграть с каждой, всего будет сыграно \( \frac{12 \times 11}{2} = 66 \) матчей, так как каждая команда играет с каждой один раз.
Для того чтобы найти наименьшее количество туров, после которых не будет 3 команд с одинаковым количеством очков, нужно рассмотреть возможные распределения очков между командами.
После каждого тура играется 6 матчей, то есть 12 команд в итоге могут заработать 6 очков (по 1 очку за выигранный матч). Таким образом, за \( t \) туров команды могут заработать \( 6t \) очков.
Теперь, чтобы 3 команды не имели одинаковое количество очков, нужно, чтобы каждая команда имела уникальное количество очков. Если в турнире участвуют 12 команд, уникальные очки могут быть от 0 до 11. Это значит, что в самом оптимистичном сценарии, когда очки распределяются так, что все команды имеют разные баллы, максимум, что мы можем получить - это 12 уникальных результатов.
Таким образом, чтобы не было 3 команд с одинаковым количеством очков, нам нужно создать систему, при которой каждая команда накапливает разные очки.
Представим ситуацию, когда каждая из 12 команд будет накапливать очки по 1 очку за матч. Если за 1 тур будет возможность получить 6 очков, то чтобы избежать одинаковых очков, нужно, чтобы общее количество набранных очков увеличивалось с каждой игрой.
Для того чтобы достичь уникального количества очков, нам нужно как минимум 5 туров (30 матчей), чтобы хотя бы 2 команды могли иметь одинаковое количество очков. После 5 туров распределение очков становится более вероятным, а соответственно увеличивается риск того, что 3 команды получат одинаковое количество очков.
Таким образом, при 5 турах, не удастся избежать ситуации, когда 3 команды могут набрать одинаковое количество очков. Значит, для достижения различных значений, необходимы минимум 5 туров, чтобы упростить возможность уникального распределения очков.
Итак, наименьшее количество туров, после которых не найдётся 3 команды, набравших одинаковое количество баллов, составит 5 туров.
