Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой примоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5 Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши: 50 52 54 100 206

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Обозначим длину прямоугольника Даши как \( a \) и ширину как \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши будет равна \( S_D = a \times b \).

Теперь рассмотрим прямоугольники Кати и Тани:

Для Кати:

• Длина = \( a - 2 \)
• Ширина = \( b + 3 \)
• Площадь = \( S_K = (a - 2)(b + 3) \)

Для Тани:

• Длина = \( a - 3 \)
• Ширина = \( b + 5 \)
• Площадь = \( S_T = (a - 3)(b + 5) \)

Условие задачи гласит, что площади прямоугольников Кати и Тани равны, то есть:

\[ (a - 2)(b + 3) = (a - 3)(b + 5) \]

Раскроем скобки:

1. Слева: \[ ab + 3a - 2b - 6 \]

2. Справа: \[ ab + 5a - 3b - 15 \]

Теперь приравняем их:

\[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

Сокращаем \( ab \) с обеих сторон:

\[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 3a - 5a + 3b - 2b + 15 - 6 = 0 \]

Это упрощается до:

\[ -2a + b + 9 = 0 \]

Или:

\[ b = 2a - 9 \]

Теперь подставим это в формулу периметра \( P \) прямоугольника Даши:

\[ P = 2(a + b) = 2(a + (2a - 9)) = 2(3a - 9) = 6a - 18 \]

Теперь нам нужно определить возможные значения для \( a \) и \( b \) так, чтобы оба были целыми числами, а также значение периметра было одно из предложенных: 50, 52, 54, 100, 206.

Решим уравнение для каждого значения периметра:

1. Для \( P = 50 \): \[ 6a - 18 = 50 \implies 6a = 68 \implies a = \frac{68}{6} \text{ (не целое)} \]

2. Для \( P = 52 \): \[ 6a - 18 = 52 \implies 6a = 70 \implies a = \frac{70}{6} \text{ (не целое)} \]

3. Для \( P = 54 \): \[ 6a - 18 = 54 \implies 6a = 72 \implies a = 12 \text{ (целое)} \] Подставим \( a = 12 \): \[ b = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15 \]

4. Для \( P = 100 \): \[ 6a - 18 = 100 \implies 6a = 118 \implies a = \frac{118}{6} \text{ (не целое)} \]

5. Для \( P = 206 \): \[ 6a - 18 = 206 \implies 6a = 224 \implies a = \frac{224}{6} \text{ (не целое)} \]

Таким образом, единственное подходящее значение периметра – это 54.

Ответ: 54