Путешественника во времени нашли в рабочем кабинете отца странный предмет с 35 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии - гаснет. Изначально ни одна кнопочка не горела. Савелий нажал на 27 различных кнопочек, Камиль - на 26 кнопочек, а Костя - на 30 кнопочек. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество кнопок, на которые нажали Савелий, Камиль и Костя, с использованием переменных:

• Пусть \( S \) — количество кнопок, нажатых Савелием (27 кнопок).
• Пусть \( K \) — количество кнопок, нажатых Камилем (26 кнопок).
• Пусть \( C \) — количество кнопок, нажатых Костей (30 кнопок).
• Пусть \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты всеми тремя.

Соответственно, у нас есть следующее уравнение, в котором каждая из кнопок была нажата так, чтобы они все загорелись:

\[ S + K + C - 2x = 35 \]

Здесь мы вычитаем \( 2x \), потому что каждая из кнопок, нажатых всеми трёмя, учитывается трижды (по одному разу для каждого из них), однако для того, чтобы они загорелись, каждый из них должен быть нажат по четному количеству раз (поэтому мы убираем лишние нажатия).

Теперь подставим значения:

\[ 27 + 26 + 30 - 2x = 35 \]

Посчитаем левую часть:

\[ 83 - 2x = 35 \]

Теперь решим это уравнение для \( x \):

\[ 83 - 35 = 2x \]

\[ 48 = 2x \]

Делим обе стороны на 2:

\[ x = 24 \]

Таким образом, количество кнопок, на которые было нажато трижды, составляет 24.