Жора задумал три натуральных числа a,b,c. Чему могут равняться a+b,b+c и c+a? 1)105,203,301; 2)101,206,407; 3)209,306,601; 4)303,404,505; 5)209,308,407

Для решения данной задачи давайте обозначим сумму трёх чисел как \( S = a + b + c \). Заметим, что каждое из заданных значений можно выразить через сумму \( S \) и одно из чисел.

Мы имеем:

1. \( a + b = S - c \)
2. \( b + c = S - a \)
3. \( c + a = S - b \)

Теперь можно выразить каждую из сумм:

• \( S - c \) для \( a + b \)
• \( S - a \) для \( b + c \)
• \( S - b \) для \( c + a \)

Добавим все три суммы: \[ (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2S \] Это означает, что сумма всех трёх выражений равна \( 2S \).

Теперь давайте посмотрим на возможные варианты.

Для каждого из предложенных вариантов проверим, соответствует ли сумма:

1. \( 105, 203, 301 \): \[ S = \frac{105 + 203 + 301}{2} = 304 \]
2. \( 101, 206, 407 \): \[ S = \frac{101 + 206 + 407}{2} = 307 \]
3. \( 209, 306, 601 \): \[ S = \frac{209 + 306 + 601}{2} = 558 \]
4. \( 303, 404, 505 \): \[ S = \frac{303 + 404 + 505}{2} = 606 \]
5. \( 209, 308, 407 \): \[ S = \frac{209 + 308 + 407}{2} = 462 \]

Теперь давайте проверим, есть ли у нас натуральные числа \( a, b, c \) для нормирования найденной суммы \( S \). У нас должно выполняться, что каждое из выражений \( a + b, b + c, c + a \) - натуральное число:

• Для \( S = 304 \) (первый вариант), можно выбрать \( a = 1, b = 104, c = 199 \) (все числа натуральные).
• Для \( S = 307 \) (второй вариант), \( a = 1, b = 100, c = 206 \) (все числа натуральные).
• Для \( S = 558 \) (третий вариант), \( a = 1, b = 208, c = 349 \) (все числа натуральные).
• Для \( S = 606 \) (четвёртый вариант), \( a = 1, b = 302, c = 303 \) (все числа натуральные).
• Для \( S = 462 \) (пятый вариант), \( a = 1, b = 205, c = 256 \) (все числа натуральные).

Таким образом, все предложенные варианты могут состоять из трёх натуральных чисел \( a, b, c \). Выбор остаётся за Жорой.