Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши: 50 52 54 100 206

Давайте обозначим стороны прямоугольника Даши как \(a\) (длина) и \(b\) (ширина). Тогда площади прямоугольников Кати и Тани можно представить следующим образом:

Для Кати:

• Длина: \(a - 2\)
• Ширина: \(b + 3\)

Площадь Кати будет равна: \[ S_K = (a - 2)(b + 3) = ab + 3a - 2b - 6 \]

Для Тани:

• Длина: \(a - 3\)
• Ширина: \(b + 5\)

Площадь Тани будет равна: \[ S_T = (a - 3)(b + 5) = ab + 5a - 3b - 15 \]

Согласно условию, площади Кати и Тани равны: \[ S_K = S_T \]

Подставим значения: \[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

Упростим уравнение:

1. Уберем \(ab\) с обеих сторон: \[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]
2. Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ 3a - 2b - 5a + 3b + 15 - 6 = 0 \]
3. Упрощаем: \[ -2a + b + 9 = 0 \] Или: \[ b = 2a - 9 \]

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника Даши. Периметр \(P\) равен: \[ P = 2(a + b) = 2(a + (2a - 9)) = 2(3a - 9) = 6a - 18 \]

Теперь вставим возможные значения периметра:

1. \(P = 50 \Rightarrow 6a - 18 = 50 \Rightarrow 6a = 68 \Rightarrow a = \frac{68}{6} \approx 11.33\) (нецелое число)
2. \(P = 52 \Rightarrow 6a - 18 = 52 \Rightarrow 6a = 70 \Rightarrow a = \frac{70}{6} \approx 11.67\) (нецелое число)
3. \(P = 54 \Rightarrow 6a - 18 = 54 \Rightarrow 6a = 72 \Rightarrow a = 12\) (целое число)
4. \(P = 100 \Rightarrow 6a - 18 = 100 \Rightarrow 6a = 118 \Rightarrow a = \frac{118}{6} \approx 19.67\) (нецелое число)
5. \(P = 206 \Rightarrow 6a - 18 = 206 \Rightarrow 6a = 224 \Rightarrow a = \frac{224}{6} \approx 37.33\) (нецелое число)

Таким образом, единственным возможным целым значением для периметра прямоугольника Даши является 54.