Петя записал на доске несколько различных чисел двузначных числел так,чтобы сумма двух и них не была равна 78. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем, что нам известно.

Петя записал двузначные числа, и сумма любых двух из них не должна равняться 78. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99.

Если мы рассмотрим сумму 78, то можно заметить, что для достижения этой суммы, если одно число обозначим как \( x \), то другое будет равно \( 78 - x \). Значит, для пары чисел, сумма которых равна 78, мы можем выразить одно число через другое.

Двузначные числа \( x \) должны лежать в диапазоне от 10 до 99. Рассмотрим, какие числа могут составить такие пары:

• Если \( x = 10 \), то \( 78 - 10 = 68 \)
• Если \( x = 11 \), то \( 78 - 11 = 67 \)
• ...
• Если \( x = 39 \), то \( 78 - 39 = 39 \) (в этом случае \( x \) и \( 78 - x \) равны).

У нас появляются пары чисел, которые будут:

• (10, 68)
• (11, 67)
• (12, 66)
• ...
• (39, 39)

Видно, что для каждого числа от 10 до 39 мы можем составить такую пару, и как только мы выйдем за пределы 39, пары начнут повторяться для чисел от 40 и выше (например, 40 = 38, 41 = 37 и так далее).

Таким образом, двузначные числа от 10 до 39 (всего 30 чисел) м могут быть записаны, потому что каждый из них будет связан с другим числом, сумма которого равна 78.

Теперь перейдем к числам от 40 до 99. Если у нас есть двузначное число выше 39, например, 40, то оно не может сочетаться с числом ниже 39, чтобы сумма равнялась 78, потому что:

• 40 + 38 = 78,
• 41 + 37 = 78 и так далее.

Следовательно, чтобы не нарушить условия задачи, мы можем взять все числа от 40 до 99, и это будет 60 чисел (от 40 до 99).

Итак, максимальное количество чисел, которые может записать Петя, без того чтобы сумма любого двух не была равна 78, составляет 30 (числа от 10 до 39) плюс 60 (числа от 40 до 99).

Таким образом, ответ на вопрос: максимальное количество чисел, которые мог написать Петя, составляет 69.