Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 35. Какое число назвала Анна?

Для решения этой задачи начнем с анализа информации, представленной в условии.

Пусть числа, загаданные Анной, обозначим как \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), а числа Бориса - как \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\). Из условия известно, что:

1. \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) — три различных положительных целых числа.
2. \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) — три различных положительных целых числа.
3. На листочках есть ровно одно общее число.
4. Сумма любого двух чисел Анны дает одно из чисел Бориса.
5. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше одного из чисел Бориса.
6. Борис назвал число 35.

Сначала из условия о сумме чисел можем понять, что у нас должно быть следующее:

Пусть общее число — это \(x\). Тогда одну из чисел Анны можно обозначить, как \(x\). Далее для двух других чисел анны \(A_2\) и \(A_3\) мы можем записать:

• \(x + A_2 = B_1\)
• \(x + A_3 = B_2\)

Поскольку известно, что Борис назвал число 35, одно из сильных предположений — это то, что одно из чисел Бориса может быть равно 35. Таким образом, мы будем предполагать, что:

• Пусть \(B_1 = 35\). Тогда либо \(x + A_2 = 35\), либо \(x + A_3 = 35\).

Предположим, что \(x + A_2 = 35\). Тогда \(A_2 = 35 - x\). Поскольку \(x\) — общее число, \(A_2\) тоже положительное, и значит \(x < 35\).

Теперь, скорее всего, одно из оставшихся чисел Бориса — это число, которое равно \(3x\) (так как Анна назвала число, которое в три раза меньше, чем одно из чисел Бориса). Мы можем предположить, что \(B_2 = 3x\).

Теперь у нас должно быть:

• \(A_2 = 35 - x\)
• \(A_3\) должно дать \(B_3\), но для этого нужно знать другое значение для \(A_3\).

Подставим \(B_2 = 3x\) в систему уравнений.

Теперь проанализируем, какую роль может играть общее число. Предположим, что мы нашли третье число \(B_3\). Мы знаем, что когда \(A_1\) и \(A_2\) складываются, они должны быть равны какому-либо \(B_i\).

Итак, можно решить через перебор возможных \(x\):

• Если \(x = 5\), тогда \(A_2 = 30\), а \(B_2 = 15\). Так что может получится две комбинации, и посмотрим поближе на числа в каждом варианте.

Следующий подход:

• Подставите другие целые значения и отслеживайте правильные направления. Например, отхождение от 5 к другим чистым множителям.

Проверяя все эти условия, мы выясняем, что:

Если \(x = 5\), то:

• \(A_1 = 5\)
• Две оставшиеся — это 30 и 15 (так как суммы ведут к числам Бориса).
• Анна назовет 5 (так как в 3 раза меньше 15 — это единственная возможность).

Таким образом, Анна назвала число 5.

Ответ: Анна назвала число 5.