Аня и Борис загадали по три положительных числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил что…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дано: Аня и Борис загадали по три положительных числа, у них одно общее число. Назовем числа Ани: \( a_1, a_2, a_3 \), а числа Бориса: \( b_1, b_2, b_3 \). Пусть общее число — это \( x \) (оно есть как у Ани, так и у Бориса).

2. Важно заметить, что сумма двух любых различных чисел Ани должна давать одно из чисел Бориса. Это значит, что \( a_1 + a_2 = b_i \), \( a_1 + a_3 = b_j \), и \( a_2 + a_3 = b_k \), где \( b_i, b_j, b_k \) — числа Бориса.

3. Далее, Аня назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Борис назвал число 35. Мы можем предположить, что одно из чисел Бориса — это 35. Для этого мы проверим возможные варианты:

   Если \( b_i = 35 \), тогда: \[ a_k = \frac{35}{3} \approx 11.67 \] Это не подходит, так как число не является целым.

4. Теперь проверим другие возможные числа Бориса. Чтобы упростить рассмотрение, давайте предположим, что общее число \( x \) также одно из чисел Бориса. Пусть общее число – это \( x \). Тогда: \[ a_k = x \] При этом, поскольку числа положительные, \( x \) должно быть меньше всех чисел Бориса.

5. Поскольку у нас есть только одно общее число и мы знаем, что Аня назвала число меньше, чем одно из чисел Бориса, попробуем сделать вывод относительно значений. Однако, разницы в числах Ани и Бориса также могут строго указывать на различные варианты для чисел.

6. Давайте введем переменные. Пусть Аня назвала \( x \) (одно из чисел) и \( x < b_1, b_2, b_3 \). Предположим, что еще одно число Бориса, которое может быть в 3 раза больше, может выразиться таким образом: \[ b_1 = 3x \] Теперь, чтобы соответствовать условиям задачи, нужно, чтобы сумма любых двух чисел Ани совпадали с числом Бориса. Эта система требует аккуратного подбора.

7. В итоге подходящими значениями для чисел Ани можно взять:

   • \( x = 11 \)
   • \( b_1 = 3 \cdot 11 = 33 \)
   • И число Бориса 35 может быть третьим, например \( b_2 = 35 \).

Таким образом, число, названное Аней, — это 11.

Ответ: Анна назвала число 11.