Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами а, 6, а + 6 сантиметров, причём а, b — целые положительные числа и а < b. Известно, что периметр фигуры, изображённой на…
Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами а, 6, а + 6 сантиметров, причём а, b — целые положительные числа и а < b. Известно, что периметр фигуры, изображённой на рисунке, составляет 72 сантиметра. Чему может быть равна сумма а и б? Ответ выразите в сантиметрах. Укажите все возможные варианты. Каждое число записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Привет! Давай решим эту задачу вместе. У нас есть три квадрата со сторонами \(a\), \(b\), и \(a + b\). Нам нужно найти возможные значения суммы \(a + b\), зная, что общий периметр всей фигуры равен 72 сантиметра и \(a < b\).
Периметр фигуры. Фигура на рисунке состоит из квадратов, расположенных так, что их периметры частично накладываются. Поэтому общий периметр равен сумме всех внешних сторон. Каждая сторона учитывается только один раз.
Выражение для периметра. Одна из сторон фигуры состоит из:
- Стороны квадрата со стороной \(a\): \(a\)
- Стороны квадрата со стороной \(b\): \(b\)
- Стороны квадрата со стороной \(a + b\): \(a + b\)
Периметр фигуры тогда можно представить как сумму длин всех уникальных внешних сторон: \[ 2(a + b + b + a) = 2(2a + 2b) = 4a + 4b \]
Подставляем известное значение периметра. Мы знаем, что: \[ 4a + 4b = 72 \] Упростим выражение: \[ a + b = 18 \]
Условия задачи. Нам нужно учесть, что \(a < b\) и оба \(a\) и \(b\) целые положительные числа. Из равенства \(a + b = 18\) мы можем вывести возможные значения для пар чисел, удовлетворяющих этому условию:
- Если \(a = 8\), то \(b = 10\)
Таким образом, единственная возможная сумма \(a\) и \(b\), отвечающая условиям задачи, равна 18.
Ответ: 18.
