На балу присутствует не более 25 человек .они танцуют в парах один (мужчина и одна женщина)в настоящий момент танцуют ⅔ всех мужчин и ⅕всех женщин .сколько людей присутствуют на балу

Для решения этой задачи давайте обозначим количество мужчин как \( M \) и количество женщин как \( W \). Из условия мы знаем, что на балу присутствует не более 25 человек, значит:

\[ M + W \leq 25 \]

Также нам дано, что в данный момент танцуют \( \frac{2}{3} \) всех мужчин и \( \frac{1}{5} \) всех женщин. Поскольку танцевать могут только пары (один мужчина и одна женщина), количество пар, танцующих в данный момент, будет равно:

\[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}W \]

Теперь выразим \( W \) через \( M \):

\[ W = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3}M = \frac{5}{3}M \]

Теперь подставим полученное значение \( W \) в неравенство \( M + W \leq 25 \):

\[ M + \frac{5}{3}M \leq 25 \]

Преобразуем это неравенство:

\[ \frac{8}{3}M \leq 25 \]

Умножим обе стороны неравенства на \( \frac{3}{8} \):

\[ M \leq \frac{25 \cdot 3}{8} = 9.375 \]

Так как количество мужчин должно быть целым, то максимальное возможное значение для \( M \) — 9.

Подставим \( M = 9 \) в формулу для \( W \):

\[ W = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15 \]

Теперь проверим, соответствует ли это условию, что сумма мужчин и женщин не больше 25:

\[ M + W = 9 + 15 = 24 \]

Это значение удовлетворяет условию. Таким образом, на балу присутствуют:

\[ M + W = 24 \]

Итак, на балу присутствуют 24 человека.