Петя записал на доске несколько различных двухзначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 84.какое максимальное количество чисел мог написать Петя

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, какие двухзначные числа существуют. Двухзначные числа варьируются от 10 до 99.

Теперь, если у нас есть два числа \(x\) и \(y\), которые мы записали на доске, условие задачи гласит, что \(x + y \neq 84\). Это означает, что если одно из чисел равно \(x\), второе число не должно быть равно \(84 - x\).

Для нахождения максимального количества чисел, которые Петя мог записать, мы можем использовать следующие шаги:

1. Для чисел от 10 до 74:

   • Если \(x\) находится в диапазоне от 10 до 74, то число \(84 - x\) будет находиться в диапазоне от 74 до 10 соответственно. Это означает, что за каждый \(x\) в этом диапазоне есть одно число \(y\), которому мы не можем равняться. Легко увидеть, что для каждого числа можно найти его партнера, и в этом случае максимальное количество уникальных чисел будет 37 (от 10 до 74, включая 10 и 74).

2. Для чисел от 75 до 99:

   • Если \(x\) находится в диапазоне от 75 до 99, то \(84 - x\) будет меньше, чем 10, что делает их недоступными для 10-значного диапазона. Это означает, что эти числа могут быть использованы без ограничений, поскольку они не приводят к противоречиям.

Таким образом, мы можем выбрать числа от 10 до 74 и добавить числа от 75 до 99. В итоге получаем:

• 37 чисел от 10 до 74.
• 25 чисел от 75 до 99 (75, 76, 77, ..., 99).

В итоге максимальное количество чисел, которое Петя мог записать, составляет:

\[ 37 + 25 = 62 \]

Таким образом, Петя мог записать максимум 62 различных двухзначных числа, при этом соблюдая условие, что сумма никаких двух из них не равна 84.