на балу присутствует не более 20 человек.они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина)в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин.сколько людей танцуют на балу

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество мужчин как \(M\), а количество женщин как \(W\). По условию задачи, на балу присутствует не более 20 человек, значит, \(M + W \leq 20\).

2. Из условия мы знаем, что танцуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин и \( \frac{4}{7} \) всех женщин. Количество танцующих мужчин можно записать как \( \frac{2}{5}M \), а количество танцующих женщин — как \( \frac{4}{7}W \).

3. Так как танцуют пары (по одному мужчине и одной женщине), то количество танцующих мужчин должно быть равно количеству танцующих женщин: \[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W \]

4. Теперь выразим \(W\) через \(M\): \[ 2M \cdot 7 = 4W \cdot 5 \implies 14M = 20W \implies W = \frac{14}{20}M = \frac{7}{10}M \]

5. Теперь подставим выражение для \(W\) в неравенство \(M + W \leq 20\): \[ M + \frac{7}{10}M \leq 20 \implies \frac{17}{10}M \leq 20 \implies 17M \leq 200 \implies M \leq \frac{200}{17} \approx 11.76 \] Поскольку \(M\) должно быть целым числом, то \(M \leq 11\).

6. Чтобы найти \(W\), подставим возможные значения \(M\). Например, если \(M = 10\): \[ W = \frac{7}{10}M = \frac{7}{10} \cdot 10 = 7 \] В этом случае \(M + W = 10 + 7 = 17\), что не превышает 20.

7. Теперь посчитаем, сколько людей танцуют: \[ \text{Танцующие мужчины} = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4, \quad \text{Танцующие женщины} = \frac{4}{7} \cdot 7 = 4. \] Таким образом, на балу танцуют 4 мужчины и 4 женщины, всего 8 танцующих.

Ответ: На балу танцуют 8 человек.