Мячик бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Через какое время мяч окажется на высоте 25 метров?
Для решения задачи воспользуемся уравнением движения для тела, брошенного вверх:
\[ h(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2} \]
где:
- \( h(t) \) — высота в момент времени \( t \),
- \( v_0 = 30 \) м/с — начальная скорость,
- \( g \approx 9.81 \) м/с² — ускорение свободного падения,
- \( t \) — время в секундах.
Мы хотим найти время, когда высота \( h(t) = 25 \) метров. Подставим известные значения в уравнение:
\[ 25 = 30t - \frac{9.81 t^2}{2} \]
Умножим все уравнение на 2 для упрощения:
\[ 50 = 60t - 9.81 t^2 \]
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
\[ 9.81 t^2 - 60t + 50 = 0 \]
Теперь применим формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 9.81 \), \( b = -60 \), \( c = 50 \):
\[ D = (-60)^2 - 4 \cdot 9.81 \cdot 50 \] \[ D = 3600 - 1962 = 1638 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ t = \frac{60 \pm \sqrt{1638}}{2 \cdot 9.81} \]
Вычислим \( \sqrt{1638} \):
\[ \sqrt{1638} \approx 40.5 \]
Теперь подставим в формулу для нахождения \( t \):
\[ t_1 = \frac{60 + 40.5}{19.62} \approx \frac{100.5}{19.62} \approx 5.13 \, \text{с} \]
\[ t_2 = \frac{60 - 40.5}{19.62} \approx \frac{19.5}{19.62} \approx 0.99 \, \text{с} \]
Таким образом, мячик окажется на высоте 25 метров через примерно 0.99 секунды при восходящем движении и через 5.13 секунды при нисходящем движении.
