В турнире по боссаболу за победу в каждом матче даётся 1 очко, за поражение-- 0 очков, ничьих не бывает. Организаторы решили провести турнир среди 12 команд. Турнир проводится по круговой системе каждая команда играет с каждой один раз. В каждом туре проходит 6 матчей: команды разбиваются на пары ещё не игравших друг с другом. Через какое наименьшее количество туров может наступить момент, когда не найдётся 3 команд, набравших одинаковое количество очков?
В турнире участвуют 12 команд, и каждая команда играет с каждой командой ровно один раз. Поскольку в каждом матче одна команда получает 1 очко, а другая — 0, общее количество очков, которое будет распределено в турнире, равно количеству матчей.
Общее количество матчей, которое будет сыграно, можно посчитать по формуле для сочетаний: \[ C(n, 2) = \frac{n(n - 1)}{2} \] где \( n \) — количество команд. В нашем случае \( n = 12 \): \[ C(12, 2) = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \text{ матчей} \] Таким образом, будет распределено 66 очков.
Теперь определим, сколько различных значений очков может быть у команд. Если мы хотим избавиться от ситуации, когда 3 команды имеют одинаковое количество очков, нас интересует, сколько различных значений может быть в наборе из 12 значений (по количеству команд). Отметим, что если у нас есть 12 команд, и мы хотим, чтобы их очки были уникальными или имели менее 3 одинаковых значений, то:
- Если у нас все значения уникальны, то максимальное количество уникальных значений будет 12.
- Если у нас два одинаковых значения — максимум для двух из 12 команд, тогда остальные 10 должны будут иметь уникальные очки, что дает в сумме 11 уникальных значений.
Используем формулу:
- Для 12 уникальных значений нам нужно 12 очков разных.
- Если одно значение повторяется дважды (тогда 11 разных значений), дважды повторено, повторяя еще 2 команды, имеем уже 10.
Теперь рассмотрим, как мы можем добиться конфигурации набора очков, где не будет 3 команд с одинаковыми очками.
Наименьшее количество туров, которое нужно провести для получения именно этого результата, можно оценить следующим образом:
- В каждом туре проходит 6 матчей, т.е. распределяется 6 очков.
- Чтобы моментально избавиться от ситуации, когда минимум 3 команды имеют одинаковое количество очков, давайте значительно увеличим разнообразие набранных очков.
Каждой команде, чтобы избежать ситуации с 3 одинаковыми командами — нужно, чтобы их очки были достаточно дифференцированы. Для осуществления этого, минимальная конфигурация должна позволить командам получить распределение наиболее равномерно.
Таким образом, чтобы не получить третьей команды с одинаковыми очками, нам нужно, условно, провести минимум 7-8 туров, давая возможность всем участникам заработать свои очки и при этом избегать полного равенства — чтобы такие командные результаты не совпадали с минимальными 3 командами, имеющими одинаковое количество очков в своих результатах.
В итоге, чтобы наступил момент, когда не найдётся трёх команд с одинаковым количеством очков, нужно как минимум 7 туров.
