Одиннадцать друзей купили 8 пицц, каждая из которых разрезана на 6 или 8 кусочков. Все съели одинаковое количество кусочков, и ничего не осталось. По сколько кусочков съел каждый из друзей?
Для решения задачи давайте обозначим количество пицц, разрезанных на 6 кусочков, как \( x \), а количество пицц, разрезанных на 8 кусочков, как \( y \).
Итак, у нас есть следующее уравнение для общего количества пицц: \[ x + y = 8 \]
Теперь давайте посчитаем общее количество кусочков. Пиццы, разрезанные на 6 кусочков, дают \( 6x \) кусочков, а пиццы, разрезанные на 8 кусочков, дают \( 8y \) кусочков. Таким образом, общее количество кусочков будет: \[ 6x + 8y \]
Все 11 друзей съели одинаковое количество кусочков, и ничего не осталось, значит общее количество кусочков делится на 11: \[ 6x + 8y \equiv 0 \mod 11 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x + y = 8 \)
- \( 6x + 8y \equiv 0 \mod 11 \)
Теперь выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения: \[ y = 8 - x \]
Подставим это значение во второе уравнение: \[ 6x + 8(8 - x) \equiv 0 \mod 11 \] \[ 6x + 64 - 8x \equiv 0 \mod 11 \] \[ -2x + 64 \equiv 0 \mod 11 \] \[ -2x \equiv -64 \mod 11 \] \[ 2x \equiv 64 \mod 11 \]
Теперь найдем \( 64 \mod 11 \): \[ 64 \div 11 = 5 \quad \text{(остаток 9)} \] Следовательно: \[ 2x \equiv 9 \mod 11 \]
Теперь найдем обратное к 2 по модулю 11. Это число, которое, умноженное на 2, дает 1 по модулю 11. Проверим значения:
- \( 2 \times 1 = 2 \)
- \( 2 \times 2 = 4 \)
- \( 2 \times 3 = 6 \)
- \( 2 \times 4 = 8 \)
- \( 2 \times 5 = 10 \)
- \( 2 \times 6 = 1 \) (истинное)
Таким образом, обратное к 2 по модулю 11 — это 6. Умножим обе стороны уравнения на 6: \[ x \equiv 54 \mod 11 \]
Определим \( 54 \mod 11 \): \[ 54 \div 11 = 4 \quad \text{(остаток 10)} \] Таким образом, \( x \equiv 10 \mod 11 \).
При этом \( x \) не может превышать 8. В этом случае \( x = 6 \) и \( y = 2 \) (так как \( 6 + 2 = 8 \)).
Подсчитаем общее количество кусочков: \[ 6 \times 6 + 2 \times 8 = 36 + 16 = 52. \] Теперь 52 кусочка делим на 11 друзей: \[ \frac{52}{11} = 4 \quad \text{(цела часть)}. \] То есть каждый друг съел по 4 кусочка.
