Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 4. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник,…
Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 4. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 4 и увеличив ширину на 7. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши 56 60 66 92 192
Для решения задачи начнем с того, что обозначим длину и ширину прямоугольника, нарисованного Дашей, как \( a \) и \( b \) соответственно.
Площадь прямоугольника Даши будет равна: \[ S_D = a \cdot b \]
Кате уменьшила длину Дашиного прямоугольника на 2 и увеличила ширину на 4, поэтому её прямоугольник имеет размеры: \[ a - 2 \quad и \quad b + 4 \] Площадь прямоугольника Кати: \[ S_K = (a - 2)(b + 4) \]
Таня уменьшила длину Дашиного прямоугольника на 4 и увеличила ширину на 7, её прямоугольник имеет размеры: \[ a - 4 \quad и \quad b + 7 \] Площадь прямоугольника Тани: \[ S_T = (a - 4)(b + 7) \]
По условию задачи площади прямоугольников Кати и Тани равны: \[ (a - 2)(b + 4) = (a - 4)(b + 7) \]
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение: \[ ab + 4a - 2b - 8 = ab + 7a - 4b - 28 \]
Сокращаем \( ab \) с обеих сторон: \[ 4a - 2b - 8 = 7a - 4b - 28 \]
Теперь соберем все подобные члены: \[ -3a + 2b + 20 = 0 \] или \[ 2b = 3a - 20 \] \[ b = \frac{3a - 20}{2} \]
Так как \( a \) и \( b \) должны быть целыми числами, \( 3a - 20 \) должно быть четным, следовательно, \( a \) должно быть четным, чтобы \( 3a \) тоже было четным.
Теперь рассмотрим возможные значения \( P = 2(a + b) \), где \( b \) выражается через \( a \): \[ P = 2\left(a + \frac{3a - 20}{2}\right) = 2\left(\frac{5a - 20}{2}\right) = 5a - 20 \]
Теперь подставим каждое из предложенных значений периметра, чтобы найти, при каком \( a \) это значение достигается:
\( P = 56 \): \[ 5a - 20 = 56 \implies 5a = 76 \implies a = 15.2 \quad (нецелое) \]
\( P = 60 \): \[ 5a - 20 = 60 \implies 5a = 80 \implies a = 16 \quad (целое) \]
\( P = 66 \): \[ 5a - 20 = 66 \implies 5a = 86 \implies a = 17.2 \quad (нецелое) \]
\( P = 92 \): \[ 5a - 20 = 92 \implies 5a = 112 \implies a = 22.4 \quad (нецелое) \]
\( P = 192 \): \[ 5a - 20 = 192 \implies 5a = 212 \implies a = 42.4 \quad (нецелое) \]
Таким образом, единственным возможным целым значением для \( a \), которое дает целое значение периметра, является 16, из чего следует, что возможное значение периметра \( P \) равно 60.
Окончательный ответ: 60.
