Задание 7. Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 16 и 27 соответственно. Пусть M середина стороны CD, и пусть K такая точка на плоскости, что A середина отрезка KM. Найдите площадь треугольника KBD.

Чтобы найти площадь треугольника KBD, начнем с определения координат точек A, B, C и D прямоугольника ABCD.

Пусть:

• Точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \)
• Точка B будет следовать вдоль оси X: \( B(16, 0) \)
• Точка D будет находиться по оси Y: \( D(0, 27) \)
• Точка C будет соответственно: \( C(16, 27) \)

Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой стороны CD:

• Координаты точки C: \( (16, 27) \)
• Координаты точки D: \( (0, 27) \)

Для точки M можем использовать формулу для нахождения середины отрезка: \[ M \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2} \right) \] Подставляем координаты: \[ M \left( \frac{16 + 0}{2}, \frac{27 + 27}{2} \right) = M(8, 27) \]

Теперь определим координаты точки K. Поскольку точка A является серединой отрезка KM, нам нужно найти координаты K. Пусть координаты K будут \( (x, y) \): \[ A \left(0, 0\right) = \left( \frac{x + 8}{2}, \frac{y + 27}{2} \right) \] Из этого уравнения получаем систему:

1. \( 0 = \frac{x + 8}{2} \)
2. \( 0 = \frac{y + 27}{2} \)

Решаем первую уравнение: \[ x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 \] Решаем вторую уравнение: \[ y + 27 = 0 \Rightarrow y = -27 \] Таким образом, координаты точки K равны \( K(-8, -27) \).

Теперь найдём площадь треугольника KBD. Формула для площади треугольника с вершинами \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), и \( (x_3, y_3) \) выглядит так: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставляем координаты K, B и D:

• \( K(-8, -27) \)
• \( B(16, 0) \)
• \( D(0, 27) \)

Площадь треугольника будет: \[ S = \frac{1}{2} \left| -8(0 - 27) + 16(-27 - 0) + 0(0 - 27) \right| \]

Раскроем скобки: \[ S = \frac{1}{2} \left| -8(-27) + 16(-27) + 0 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 216 - 432 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -216 \right| = \frac{1}{2} \times 216 = 108 \]

Итак, площадь треугольника KBD равна \( 108 \).