Задача №1. У исполнителя Вычислитель две команды, которым присвоены номера: 1. умножь на в 2. прибавь 2 (b неизвестное натуральное число) Первая из них увеличивает число на экране в в раз, вторая увеличивает его на 2. Известно, что программа 12221 переводит число 1 в число 91. Определите значение в.

Для решения этой задачи давайте проанализируем, как программа 12221 работает с числом 1.

Программа состоит из двух команд:

1. Умножить на \(b\)
2. Прибавить 2

А теперь рассмотрим, как выполняется программа 12221. Эта программа предполагает, что сначала выполняется команда 1, затем снова команда 2, затем команда 2, затем команда 2, и наконец команда 1. Таким образом, в программе 12221 порядок выполнения команд выглядит так:

1. Умножить на \(b\)
2. Прибавить 2
3. Прибавить 2
4. Прибавить 2
5. Умножить на \(b\)

Давайте разберёмся, что это значит математика:

1. Начальное значение: \(1\)
2. Применяем первую команду (умножаем на \(b\)): \(1 \cdot b = b\)
3. Применяем вторую команду (прибавляем 2): \(b + 2\)
4. Применяем вторую команду (прибавляем 2): \(b + 2 + 2 = b + 4\)
5. Применяем вторую команду (прибавляем 2): \(b + 4 + 2 = b + 6\)
6. Применяем снова первую команду (умножаем на \(b\)): \((b + 6) \cdot b = b^2 + 6b\)

Теперь по условию задачи мы знаем, что в результате мы получаем 91: \[ b^2 + 6b = 91 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение: \[ b^2 + 6b - 91 = 0 \]

Для нахождения корней используем формулу корней квадратного уравнения: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \] где \(A = 1\), \(B = 6\), \(C = -91\).

Подставим значения в формулу: \[ D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400 \] \[ b = \frac{-6 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 20}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(b\):

1. \(b = \frac{14}{2} = 7\)
2. \(b = \frac{-26}{2} = -13\) (неподходящее значение, так как \(b\) должно быть натуральным числом)

Следовательно, найденное значение \(b\) равно \(7\).

Таким образом, значение \(b\) равно \(7\).