Простое число р таково, что для любых а и в числа 10а +36 и а+86 или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ…

Для решения задачи нам нужно определить, при каких условиях делимость чисел зависит от простого числа \( p \).

Имеем два числа:

1. \( 10a + 36 \)
2. \( a + 86 \)

Согласно утверждению задачи, для любых \( a \) и \( b \) (в данном случае только \( a \)), оба числа либо делятся на \( p \), либо оба не делятся на \( p \).

Это можно рассмотреть через остатки при делении на \( p \).

1. Рассмотрим остаток \( 10a + 36 \) при делении на \( p \).
2. Рассмотрим остаток \( a + 86 \) при делении на \( p \).

Обозначим:

• \( x \equiv 10a + 36 \mod p \)
• \( y \equiv a + 86 \mod p \)

Теперь преобразуем \( x \) и \( y \):

• \( x \equiv 10a + 36 \mod p \)
• \( y \equiv a + 86 \mod p \)

Попробуем найти такие \( p \), чтобы у двух этих чисел были одинаковые остатки.

Из первого уравнения получаем:

• \( x \equiv 10(a + 3.6) \mod p \)

Для делимости \( y \) и \( x \) на \( p \) нам нужно, чтобы их остатки совпадали.

Попробуем подставить различные простые числа и посмотреть, когда \( x \equiv y \mod p \):

• Если \( p = 2 \): \( 10a + 36 \equiv 0 \mod 2 \) и \( a + 86 \equiv 0 \mod 2 \)
• Если \( p = 3 \): \( 10a + 36 \equiv 0 \mod 3 \) и \( a + 86 \equiv 0 \mod 3 \)
• Если \( p = 5 \): \( 10a + 36 \equiv 0 \mod 5 \) и \( a + 86 \equiv 0 \mod 5 \)
• Если \( p = 11 \): это не будет работать, так как зависимости отличаются от \( 0 \mod 11 \)

Таким образом, подходящие значения \( p \), которые удовлетворяют условию задачи, это: 2, 3, 5

Ответ:

2
3
5