У трикутнику АВС AB = 7 см, BC = 9CM ВМ - медіана. Знайдіть сторону АС, якщо ВМ: AC = 2:7
У трикутнику ABC, де AB = 7 см, BC = 9 см, і BM - медіана, що ділить сторону AC у відношенні 2:7, ми можемо позначити AC як x см.
Згідно з умовою, BM : AC = 2 : 7. Отже, ми можемо виразити AC через BM:
BM = (2/7) * AC
Тепер, оскільки BM - медіана, ми можемо використати відомі властивості медіан у трикутниках. Відношення сторін в трикутнику ABC можна описати через формулу для медіани.
Формула для довжини медіани BM виглядає так:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]
Підставимо значення AB, BC і AC в цю формулу:
Знайдемо AC у вигляді x см: \[ BM = \frac{2}{7}x \]
Підставимо у формулу медіани: \[ \frac{2}{7}x = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2) + 2(9^2) - x^2} \]
Спрощуємо і підносимо до квадрату: \[ \frac{4}{49}x^2 = \frac{1}{4} (2(49) + 2(81) - x^2) \] \[ \frac{4}{49}x^2 = \frac{1}{4} (98 + 162 - x^2) \] \[ \frac{4}{49}x^2 = \frac{1}{4} (260 - x^2) \]
Помножимо обидві сторони на 196 (щоб позбутися дробів): \[ 16x^2 = 49(260 - x^2) \] \[ 16x^2 = 12740 - 49x^2 \] \[ 16x^2 + 49x^2 = 12740 \] \[ 65x^2 = 12740 \] \[ x^2 = \frac{12740}{65} \] \[ x^2 = 196 \] \[ x = \sqrt{196} = 14 \]
Отже, довжина сторони AC = 14 см.
