У трикутнику АВС AB = 7 см, BC = 9CM ВМ - медіана. Знайдіть сторону АС, якщо ВМ: AC = 2/7

Давайте розглянемо трикутник \( ABC \), де \( AB = 7 \) см, \( BC = 9 \) см, і \( BM \) — медіана, яка ділить сторону \( AC \) на дві рівні частини.

Позначимо довжину сторони \( AC \) за \( x \). Так як \( BM \) — медіана, то можна вважати, що точка \( M \) ділить сторону \( AC \) навпіл, тобто \( AM = \frac{x}{2} \) і \( MC = \frac{x}{2} \).

Згідно з умовою, маємо відношення:

\[ \frac{BM}{AC} = \frac{2}{7} \]

Це означає, що \( AC \) в сім разів більше, ніж \( BM \):

\[ BM = \frac{2}{7} \cdot AC = \frac{2}{7} \cdot x \]

Тепер скористаємося формулою для обчислення довжини медіани, наприклад, з точки \( B \) до сторони \( AC \):

\[ BM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}} \]

Підставимо значення:

• \( AB = 7 \) см
• \( BC = 9 \) см
• \( AC = x \)

Отже:

\[ BM = \sqrt{\frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - x^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - x^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 162 - x^2}{4}} = \sqrt{\frac{260 - x^2}{4}} = \frac{\sqrt{260 - x^2}}{2} \]

Тепер ми маємо два вирази для \( BM \):

1. \( BM = \frac{2}{7} x \)
2. \( BM = \frac{\sqrt{260 - x^2}}{2} \)

Прирівняємо ці два вирази:

\[ \frac{2}{7} x = \frac{\sqrt{260 - x^2}}{2} \]

Домножимо обидві частини на 14:

\[ 4x = 7\sqrt{260 - x^2} \]

Тепер квадратимо обидві частини:

\[ 16x^2 = 49(260 - x^2) \]

Відкриємо дужки:

\[ 16x^2 = 12740 - 49x^2 \]

Переносимо всі члени на одну сторону:

\[ 16x^2 + 49x^2 = 12740 \]

\[ 65x^2 = 12740 \]

Ділимо обидві сторони на 65:

\[ x^2 = \frac{12740}{65} = 196 \]

Обчислюємо квадратний корінь:

\[ x = \sqrt{196} = 14 \]

Таким чином, сторона \( AC = 14 \) см.