У трикутнику АВС AB = 7 см, BC = 9CM ВМ - медіана. Знайдіть сторону АС, якщо ВМ: AC = 2/7

В трикутнику \( ABC \) за умовою задачі:

• \( AB = 7 \) см
• \( BC = 9 \) см
• \( BM \) – медіана, що ділить сторону \( AC \) навпіл.
• Відношення \( \frac{BM}{AC} = \frac{2}{7} \)

Спочатку знайдемо \( AC \) через \( BM \):

Позначимо довжину сторони \( AC \) через \( x \). За умовою маємо: \[ BM = \frac{2}{7} \cdot AC \implies BM = \frac{2}{7}x. \]

Оскільки \( BM \) є медіаною, вона може бути обчислена за формулою: \[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]

Підставимо відомі значення: \[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2) + 2(9^2) - AC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - x^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{98 + 162 - x^2} = \frac{1}{2} \sqrt{260 - x^2}. \]

Маємо два вирази для \( BM \):

1. \( BM = \frac{2}{7}x \)
2. \( BM = \frac{1}{2} \sqrt{260 - x^2} \)

Прирівняємо ці два вирази: \[ \frac{2}{7}x = \frac{1}{2} \sqrt{260 - x^2}. \]

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрату: \[ \left(\frac{2}{7}x\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{260 - x^2}\right)^2. \] \[ \frac{4}{49}x^2 = \frac{1}{4}(260 - x^2). \]

Помножимо обидві сторони на 196, щоб позбавитись дробів: \[ 16x^2 = 49(260 - x^2). \] Розпишемо праву частину: \[ 16x^2 = 12740 - 49x^2. \]

Перенесемо всі члени, що містять \( x^2 \), в одну частину: \[ 16x^2 + 49x^2 = 12740 \] \[ 65x^2 = 12740. \] Знайдемо \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{12740}{65} = 196. \] Тепер знайдемо \( x \): \[ x = \sqrt{196} = 14 \text{ см}. \]

Отже, довжина сторони \( AC \) дорівнює \( 14 \) см.