Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина — на 18, а Эрика — на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?

Question 1

Задача Задача №1870975

А

Аноним

15 октября 2024 17:38 · публичный вопрос

А

Аноним 15 октября 2024 17:38

Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина — на 18, а Эрика — на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?

Answer

Обозначим количество кнопок, на которые нажали Машу, Полина и Эрика, соответственно как \(A\), \(B\) и \(C\). Дано, что:

\( |A| = 17 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Машей),
\( |B| = 18 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Полиной),
\( |C| = 20 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Эрикой).

Также известно, что в результате все 25 кнопок загорелись. Мы будем использовать принцип включения-исключения для подсчета общего количества уникальных нажатий.

Обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды, как \(x\). Итак, количество кнопок, нажатых дважды, можно обозначить как \(y\).

Тогда, учитывая общее количество уникальных нажатий, получаем следующее уравнение:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| \] где \( |A \cap B| \), \( |B \cap C| \), \( |C \cap A| \) - количество кнопок, которые были нажаты дважды, а \( |A \cap B \cap C| = x\) - количество кнопок, на которые нажали все трое.

Необходимо учесть, что:

\[ |A \cup B \cup C| = 25. \]

Кроме того, мы знаем:

\[ |A| + |B| + |C| = 17 + 18 + 20 = 55. \]

Пусть \(y\) будет количеством кнопок, нажатых дважды, и \(x\) — количество нажатых трижды. В таком случае мы можем записать уравнение для количества нажатий:

\[ 55 - y - 2x = 25. \]

Итак, из этого уравнения мы получаем:

\[ 30 = y + 2x \quad (1). \]

Также необходимо учесть, что общее количество кнопок \(y + x\) не может превышать общее количество кнопок (25):

\(y + x \leq 25\),
\Rightarrow y \leq 25 - x \quad (2).

Теперь можно решить систему уравнений (1) и (2). Подставляя (2) в (1), получаем:

\[ 30 = (25 - x) + 2x, \] что упрощается до:

\[ 30 = 25 - x + 2x \Rightarrow x = 30 - 25 = 5. \]

Таким образом, получаем, что количество кнопок, на которые нажали трижды, составляет \(5\).

Ответ: 5 кнопок было нажато трижды.

Question 2

Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина — на 18, а Эрика — на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?

Answer

Обозначим количество кнопок, на которые нажали Машу, Полина и Эрика, соответственно как \(A\), \(B\) и \(C\). Дано, что: - \( |A| = 17 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Машей), - \( |B| = 18 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Полиной), - \( |C| = 20 \) (количество уникальных кнопок, нажатых Эрикой). Также известно, что в результате все 25 кнопок загорелись. Мы будем использовать принцип включения-исключения для подсчета общего количества уникальных нажатий. Обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды, как \(x\). Итак, количество кнопок, нажатых дважды, можно обозначить как \(y\). Тогда, учитывая общее количество уникальных нажатий, получаем следующее уравнение: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| \] где \( |A \cap B| \), \( |B \cap C| \), \( |C \cap A| \) - количество кнопок, которые были нажаты дважды, а \( |A \cap B \cap C| = x\) - количество кнопок, на которые нажали все трое. Необходимо учесть, что: \[ |A \cup B \cup C| = 25. \] Кроме того, мы знаем: \[ |A| + |B| + |C| = 17 + 18 + 20 = 55. \] Пусть \(y\) будет количеством кнопок, нажатых дважды, и \(x\) — количество нажатых трижды. В таком случае мы можем записать уравнение для количества нажатий: \[ 55 - y - 2x = 25. \] Итак, из этого уравнения мы получаем: \[ 30 = y + 2x \quad (1). \] Также необходимо учесть, что общее количество кнопок \(y + x\) не может превышать общее количество кнопок (25): - \(y + x \leq 25\), - \Rightarrow y \leq 25 - x \quad (2). Теперь можно решить систему уравнений (1) и (2). Подставляя (2) в (1), получаем: \[ 30 = (25 - x) + 2x, \] что упрощается до: \[ 30 = 25 - x + 2x \Rightarrow x = 30 - 25 = 5. \] Таким образом, получаем, что количество кнопок, на которые нажали трижды, составляет \(5\). Ответ: 5 кнопок было нажато трижды.