При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии-гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля-на 14 , Петя-на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все.Сколько кнопок были нажаты трижды? На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Задача 1: Лифт и кнопки

В данной задаче мы знаем, что у Васи, Коли и Пети всего 12, 14 и 19 нажатий кнопок соответственно. Известно, что в результате все 23 кнопки загорелись.

Обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды, как \(x\). Теперь давайте подсчитаем общее количество нажатий кнопок:

• Если одна кнопка нажата единожды, она загорается.
• Если одна кнопка нажата дважды, она в итоге будет в состоянии, при котором не горит (сначала загорелась, потом погасла).
• Если одна кнопка нажата трижды, она снова будет гореть.

Таким образом, количество уникальных нажатий можно выразить так: \[ S = 12 + 14 + 19 - 2y - 3x, \] где \(y\) — количество кнопок, нажатых дважды.

Теперь у нас есть основное уравнение по количеству кнопок, которые загорелись: \[ S = 23 = 12 + 14 + 19 - 2y - 3x. \] Подставим значения: \[ 23 = 45 - 2y - 3x. \] Отсюда: \[ 2y + 3x = 22. \]

Каждая кнопка, которая была нажата дважды, также добавляет к \(y\), поэтому у нас будет дополнительное уравнение: \[ y + x \leq 23. \]

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. После подстановки возможных значений для \(x\):

1. Если \(x = 0\): \(2y = 22 \Rightarrow y = 11\) → Неверно, так как \(y + x = 11\).
2. Если \(x = 4\): \(2y + 12 = 22 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\) → Верно, и \(y + x = 9\).
3. Если \(x = 8\): \(2y + 24 = 22 \Rightarrow 2y = -2\) → Неверно.

Таким образом, единственное подходящее целое значение для \(x\) равно 4. Это значит, что 4 кнопки были нажаты трижды.

Задача 2: Бал

Для второго вопроса нам известно, что на балу танцуют \( \frac{3}{4} \) всех мужчин и \( \frac{4}{5} \) всех женщин. Обозначим количество мужчин как \(m\), а женщин как \(w\).

Соотношение можно выразить так:

• Танцующие мужчины: \( \frac{3}{4} m \)
• Танцующие женщины: \( \frac{4}{5} w \)

Согласно условиям, общее количество людей на балу: \[ m + w \leq 60. \]

Также мы знаем, что количество танцующих мужчин и женщин должно быть равным, то есть: \[ \frac{3}{4} m = \frac{4}{5} w. \]

Теперь выразим одно переменное через другое: \[ 15m = 16w \Rightarrow w = \frac{15}{16}m. \]

Подставим это в неравенство: \[ m + \frac{15}{16}m \leq 60. \] \[ \frac{31}{16}m \leq 60 \Rightarrow m \leq \frac{60 \cdot 16}{31} \approx 31.29. \]

Так как количество мужчин должно быть целым числом, получите: \[ m \leq 31. \]

Теперь определим \(w\): \[ w = \frac{15}{16} \cdot 31 \approx 29.05. \]

Таким образом, мы можем взять \(m = 31\) и \(w = 29\). В итоге на балу присутствует \(31 + 29 = 60\) человек.

Ответы:

1. Количество кнопок, нажанных трижды: 4.
2. Количество людей на балу: 60.