из клетчатого квадрата 9 на 9 вырезали часть угловы0 клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения этой задачи представим, что у нас есть квадрат размером 9 на 9, который состоит из 81 клетки. После того как мы вырезали часть угловых клеток, оставшуюся фигуру мы разбиваем на квадраты со сторонами 1 и 3.

Обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( a \), а количество квадратов со стороной 3 как \( b \). Условия задачи требуют, чтобы количество квадратов было одинаковым, то есть \( a = b \).

Каждый квадрат со стороной 1 занимает 1 клетку, а квадрат со стороной 3 занимает 9 клеток. Таким образом, общее количество клеток, занятых квадратами, будет:

\[ a \cdot 1 + b \cdot 9 = a + 9b \]

Поскольку \( a = b \), можем подставить \( b \) вместо \( a \):

\[ b + 9b = 10b \]

Таким образом, оставшееся количество клеток после вырезания угловых клеток должно быть равно \( 10b \).

Изначально у нас было 81 клетки, и после вырезания \( x \) клеток:

\[ 81 - x = 10b \]

Теперь решим это уравнение для \( x \):

\[ x = 81 - 10b \]

Значение \( b \) может принимать целочисленные значения, начиная с 1 (так как мы должны иметь по крайней мере один квадрат каждого типа) и вплоть до 8, поскольку \( 10b \) не должно превышать 81. Проверим возможные значения \( b \):

• \( b = 1 \): \( x = 81 - 10 \cdot 1 = 71 \)
• \( b = 2 \): \( x = 81 - 10 \cdot 2 = 61 \)
• \( b = 3 \): \( x = 81 - 10 \cdot 3 = 51 \)
• \( b = 4 \): \( x = 81 - 10 \cdot 4 = 41 \)
• \( b = 5 \): \( x = 81 - 10 \cdot 5 = 31 \)
• \( b = 6 \): \( x = 81 - 10 \cdot 6 = 21 \)
• \( b = 7 \): \( x = 81 - 10 \cdot 7 = 11 \)
• \( b = 8 \): \( x = 81 - 10 \cdot 8 = 1 \)

Таким образом, количество вырезанных клеток \( x \) может быть равно 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11 или 1. Все эти значения должны быть согласованы с тем, что угловые клетки можно вырезать с учётом того, чтобы оставшаяся фигура все же могла быть разбита на квадраты 1 и 3.

Итак, возможные значения количества вырезанных клеток: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71.