Из клетчатого квадрата 8 × 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для начала, давайте проанализируем задачу. У нас есть квадрат размером 8 × 8, который содержит 64 клеточки. Мы хотим узнать, сколько клеток можно вырезать из угловых клеток, чтобы оставшуюся фигуру можно было разбить на квадраты 1 × 1 и 2 × 2 в равном количестве.

Обозначим количество квадратов 1 × 1 как \( x \), а количество квадратов 2 × 2 как \( x \), поскольку нам нужно, чтобы количество квадратов каждого типа было одинаковым. Площадь квадрата 1 × 1 равна 1, а площадь квадрата 2 × 2 равна 4. Таким образом, площадь всех квадратов будет:

\[ x \cdot 1 + x \cdot 4 = 5x. \]

Теперь найдем площадь оставшейся фигуры после вырезания клеток. Площадь изначального квадрата 8 × 8 составляет 64. Если мы вырезали \( n \) клеток, то площадь оставшейся фигуры будет:

\[ 64 - n. \]

Уравнение можно записать так:

\[ 64 - n = 5x. \]

Теперь мы можем выразить \( n \):

\[ n = 64 - 5x. \]

Чтобы \( n \) было неотрицательным, \( 64 - 5x \geq 0 \). Это означает, что:

\[ 64 \geq 5x \implies x \leq \frac{64}{5} = 12.8. \]

Так как \( x \) должен быть целым числом, максимальное значение \( x \) равно 12. Это дает:

\[ n = 64 - 5 \cdot 12 = 64 - 60 = 4. \]

Теперь проверим возможность вырезания клеток и приведем примеры:

1. Можно вырезать клетки (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) — это 4 клетки.
2. Оставшиеся клетки (всего 60, из которых 12 - квадраты 2 × 2 и 12 - квадраты 1 × 1) можно расположить в фигуре так, чтобы соответствовать требованиям.

Таким образом, максимальное количество клеток, которое можно вырезать из угловых клеток, составляет 4. В зависимости от других комбинаций и расположения клеток возможны и другие варианты, однако это основное количество.