В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите это…
В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите это количество.
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Сначала введем обозначения для количества монет разных достоинств:
- Пусть x — количество одно рублевых монет,
- y — количество двухрублевых монет,
- z — количество пятирублевых монет.
У нас есть два условия:
Общее количество монет: \[ x + y + z = 300 \]
Общее количество денег: \[ 1x + 2y + 5z = 1000 \]
Также известно, что количество монет каких-то двух достоинств равно. Предположим, что количество одно- и двухрублевых монет равно, то есть \( x = y \).
Теперь мы можем заменить x на y в наших уравнениях:
Подставим \( x = y \) в первое уравнение: \[ y + y + z = 300 \implies 2y + z = 300 \tag{1} \]
Подставим \( x = y \) во второе уравнение: \[ 1y + 2y + 5z = 1000 \implies 3y + 5z = 1000 \tag{2} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
Из первого уравнения можно выразить z: \[ z = 300 - 2y \tag{3} \]
Теперь подставим это значение z во второе уравнение (2): \[ 3y + 5(300 - 2y) = 1000 \]
Раскроем скобки: \[ 3y + 1500 - 10y = 1000 \]
Соберем все y с одной стороны: \[ -7y + 1500 = 1000 \]
Теперь вычтем 1500 из обеих сторон: \[ -7y = -500 \]
Разделим обе стороны на -7: \[ y = \frac{500}{7} \approx 71.43 \]
Так как y должно быть целым числом, давайте попробуем другой вариант. Допустим, что \( y = z \).
Поставим \( z = y \) в уравнение (1): \[ x + y + y = 300 \implies x + 2y = 300 \tag{4} \]
А теперь в уравнение (2): \[ 1x + 2y + 5y = 1000 \implies x + 7y = 1000 \tag{5} \]
Теперь в (4) выразим x: \[ x = 300 - 2y \]
Подставим это значение в уравнение (5): \[ (300 - 2y) + 7y = 1000 \]
Раскроем скобки: \[ 300 - 2y + 7y = 1000 \]
Соберем все y с одной стороны: \[ 5y + 300 = 1000 \]
Теперь вычтем 300: \[ 5y = 700 \]
Разделим обе стороны на 5: \[ y = 140 \]
Теперь подставляем y = 140 в (4): \[ x + 2 \cdot 140 = 300 \implies x + 280 = 300 \implies x = 20 \]
Теперь, подставим y в (3) для нахождения z: \[ z = y = 140 \]
В итоге, у нас есть числа:
- Одно рублевые монеты (x) — 20,
- Двух рублевых монет (y) — 140,
- Пятирублевых монет (z) — 140.
Так что количество двух различных достоинств монет, которые одинаковы, составляет 140.
