Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами Катя нарисовала свой прямоугольник уменьшив длину данного на два и увеличив ширину на четыре Таня тоже нарисовала свой…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим длину прямоугольника Даши как \( a \), а ширину как \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши равна \( S_D = a \times b \).

2. Катя уменьшила длину на 2 и увеличила ширину на 4. Значит, её прямоугольник имеет следующие размеры:

   • Длина: \( a - 2 \)
   • Ширина: \( b + 4 \)
   • Площадь Катиного прямоугольника: \[ S_C = (a - 2) \times (b + 4) = ab + 4a - 2b - 8 \]

3. Таня уменьшила длину на 4 и увеличила ширину на 7. Размеры её прямоугольника:

   • Длина: \( a - 4 \)
   • Ширина: \( b + 7 \)
   • Площадь Таниного прямоугольника: \[ S_T = (a - 4) \times (b + 7) = ab + 7a - 4b - 28 \]

4. Из условия задачи известно, что площади прямоугольников Кати и Тани равны: \[ S_C = S_T \] Подставив выражения для площадей, получаем: \[ ab + 4a - 2b - 8 = ab + 7a - 4b - 28 \]

5. Упрощая уравнение, можно вычесть \( ab \) из обеих сторон: \[ 4a - 2b - 8 = 7a - 4b - 28 \] Затем соберём все \( a \) и \( b \) на одну сторону: \[ -3a + 2b + 20 = 0 \] Из этого уравнения выразим \( b \): \[ 2b = 3a - 20 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3a - 20}{2} \]

6. Теперь мы можем выразить периметр прямоугольника Даши. Периметр \( P \) равен: \[ P = 2(a + b) = 2\left(a + \frac{3a - 20}{2}\right) = 2\left(\frac{5a - 20}{2}\right) = 5a - 20 \]

7. Учитывая, что \( b \) должно быть целым и положительным, необходимо, чтобы \( 3a - 20 \) было четным. Это значит, что \( a \) должно быть четным (так как 20 четное).

8. Теперь найдем значения \( a \), которые удовлетворяют условию. Для \( b \) быть положительным, мы должны иметь: \[ 3a - 20 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > \frac{20}{3} \approx 6.67 \] Это значит, что \( a \) может принимать четные значения 8 и больше.

9. Подставляем четные \( a \):

   • Если \( a = 8 \): \[ b = \frac{3 \times 8 - 20}{2} = \frac{24 - 20}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad P = 5 \times 8 - 20 = 40 - 20 = 20 \]
   • Если \( a = 10 \): \[ b = \frac{3 \times 10 - 20}{2} = \frac{30 - 20}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad P = 5 \times 10 - 20 = 50 - 20 = 30 \]
   • Если \( a = 12 \): \[ b = \frac{3 \times 12 - 20}{2} = \frac{36 - 20}{2} = 8 \quad \Rightarrow \quad P = 5 \times 12 - 20 = 60 - 20 = 40 \]
   • Если \( a = 14 \): \[ b = \frac{3 \times 14 - 20}{2} = \frac{42 - 20}{2} = 11 \quad \Rightarrow \quad P = 5 \times 14 - 20 = 70 - 20 = 50 \]

Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши: 20, 30, 40, 50 и так далее (для четных значений \( a \)).

Если нужно рассмотреть другие чётные значения \( a \), просто подставьте их в формулу \( P = 5a - 20 \).