Из клетчатого квадрата 8 х 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения задачи давайте обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( x \), и количество квадратов со стороной 2 как \( x \), поскольку их должно быть поровну.

Общая площадь исходного квадрата 8x8 составляет:

\[ 64 \text{ клеток} \]

Площадь квадратов с длиной стороны 1 равна \( 1 \cdot 1 = 1 \) и у нас их \( x \) штук. Площадь квадратов с длиной стороны 2 равна \( 2 \cdot 2 = 4 \), и у нас также \( x \) штук. Таким образом, общая площадь, занимаемая этими квадратами, равна:

\[ x \cdot 1 + x \cdot 4 = x + 4x = 5x \]

Теперь учтем, сколько клеток было вырезано. Обозначим количество вырезанных клеток как \( k \). Тогда площадь оставшейся фигуры составит:

\[ 64 - k \]

Эта площадь также должна равняться площади, занятой квадратами, то есть:

\[ 64 - k = 5x \]

Из этого уравнения получаем:

\[ k = 64 - 5x \]

Так как \( k \) должно быть неотрицательным числом, мы имеем:

\[ 64 - 5x \geq 0 \implies 64 \geq 5x \implies x \leq \frac{64}{5} = 12.8 \]

Так как \( x \) должно быть целым числом, мы можем записать, что:

\[ x \leq 12 \]

Теперь давайте определим, сколько клеток может быть вырезано \( k \) для целых значений \( x \) от 0 до 12:

1. Если \( x = 0 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 0 = 64 \).
2. Если \( x = 1 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 1 = 59 \).
3. Если \( x = 2 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 2 = 54 \).
4. Если \( x = 3 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 3 = 49 \).
5. Если \( x = 4 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 4 = 44 \).
6. Если \( x = 5 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 5 = 39 \).
7. Если \( x = 6 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 6 = 34 \).
8. Если \( x = 7 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 7 = 29 \).
9. Если \( x = 8 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 8 = 24 \).
10. Если \( x = 9 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 9 = 19 \).
11. Если \( x = 10 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 10 = 14 \).
12. Если \( x = 11 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 11 = 9 \).
13. Если \( x = 12 \), то \( k = 64 - 5 \cdot 12 = 4 \).

Таким образом, возможные значения \( k \) (количества вырезанных клеток) могут быть: \( 64, 59, 54, 49, 44, 39, 34, 29, 24, 19, 14, 9, 4 \).

Ответ: Количество клеток, которые могли быть вырезаны, может быть 64, 59, 54, 49, 44, 39, 34, 29, 24, 19, 14, 9, 4.