Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 84. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся, какие двузначные числа существуют и как можно их сочетать.

Двузначные числа варьируются от 10 до 99. Сумма двух таких чисел не должна равняться 84. Это значит, что если мы берем какое-то двузначное число \( x \), то \( 84 - x \) также должно быть двузначным числом (т.е. находиться в пределах от 10 до 99) и, что важно, не должно входить в наш набор чисел.

Давайте найдем, какие числа, если одно из них равно \( x \), будут невозможны как вторые числа:

• Если \( x = 10 \), то \( 84 - 10 = 74 \)
• Если \( x = 11 \), то \( 84 - 11 = 73 \)
• ...
• Если \( x = 34 \), то \( 84 - 34 = 50 \)
• Если \( x = 35 \), то \( 84 - 35 = 49 \)
• ...
• Если \( x = 49 \), то \( 84 - 49 = 35 \)
• Если \( x = 50 \), то \( 84 - 50 = 34 \)
• ...
• Если \( x = 74 \), то \( 84 - 74 = 10 \)
• Если \( x = 73 \), то \( 84 - 73 = 11 \)
• ...
• Если \( x = 79 \), то \( 84 - 79 = 5 \) (не двузначное)
• Если \( x = 80 \), то \( 84 - 80 = 4 \) (не двузначное)
• И так далее.

Таким образом, мы видим, что для чисел от \( 10 \) до \( 49 \) существует "пара" в интервале от \( 50 \) до \( 74 \), с которой они могут составить сумму \( 84 \). Это делит наш набор чисел на две части:

1. Двузначные числа от \( 10 \) до \( 49 \).
2. Двузначные числа от \( 50 \) до \( 74 \).

Теперь давайте посчитаем количество чисел в каждом диапазоне:

• В диапазоне \( 10 \) до \( 49 \) (включительно) есть \( 49 - 10 + 1 = 40 \) чисел.
• В диапазоне \( 50 \) до \( 74 \) (включительно) есть \( 74 - 50 + 1 = 25 \) чисел.

Таким образом, максимальное количество двузначных чисел, которые Петя мог записать, можно получить, выбрав либо все числа от \( 10 \) до \( 49 \) (40 чисел), либо все числа от \( 50 \) до \( 74 \) (25 чисел). Максимальное количество — это 40.

Поэтому максимальное количество чисел, которые мог написать Петя, составляет 40.