Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 10. Какое число назвала Анна?

Обозначим числа Анны как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса как \( B_1, B_2, B_3 \). Из условия мы знаем, что:

1. \( A_1, A_2, A_3 \) - это три различных положительных целых числа.
2. \( B_1, B_2, B_3 \) - это три различных положительных целых числа.
3. Один из чисел \( A_i \) совпадает с одним из чисел \( B_j \).
4. Если сложить два любых различных числа из листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса, т.е. \( A_i + A_j = B_k \) для некоторых \( i, j, k \).
5. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса.
6. Борис назвал число 10.

Поскольку Борис назвал число 10, смотрим, как оно может быть связано с числами Анны:

1. Так как одно из чисел Анны должно быть в 3 раза меньше числа из Бориса, это может быть следующие варианты:
   • \( A = \frac{10}{3} \) (не подходит, так как должно быть целым)
   • \( A = 1 \) (такое число может дать 3)
   • \( A = 2 \) (такое число может дать 6)
   • \( A = 3 \) (такое число может дать 9)
   • \( A = 4 \) (такое число может дать 12)
   • \( A = 5 \) (такое число может дать 15)
   • \( A = 6 \) (такое число может дать 18)
   • \( A = 7 \) (такое число может дать 21)
   • \( A = 8 \) (такое число может дать 24)
   • \( A = 9 \) (такое число может дать 27)

Рассмотрим, что общее число у них одно. Это число должно совпадать с одним из чисел Бориса.

Построим возможные пары:

1. Если у Анны 1, тогда общее число \( B_k = 3 + A_j \). Чтобы Борис мог взять 10, одно из чисел Бориса должно быть 4; тогда 4 = 3+1 → подходит. Значит, например, числа Анны: 1, 2, 3, 4 – (А 3 подходит) для Бориса. 1,5,4.

Следовательно, вероятное значение \( A \):

Ответ: 3.