Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Обозначим числа, которые загадала Анна, как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса как \( B_1, B_2, B_3 \).

Из условия задачи мы знаем, что:

1. У Анны и Бориса есть одно общее число, обозначим его \( x \).
2. Два любых других числа Анны, если их сложить, дают одно из чисел Бориса.
3. Анна назвала число в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса.
4. Борис назвал число 10.

Поскольку Анна и Борис загадали разные положительные целые числа, предположим, что одно из чисел Бориса (например, \( B_1 = 10 \)).

Пусть \( A_1 = x \) (общее число), тогда \( A_2 \) и \( A_3 \) – это два других числа Анны. Сложение \( A_2 + A_3 \) должно равняться одному из чисел Бориса, например, \( B_2 \) или \( B_3 \).

Если Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса (например, пусть это будет 10), значит, одно из её чисел должно быть равно \( \frac{10}{3} \) – но это нецелое число и Анна не может его назвать.

Поэтому последнее число, которое она могла бы назвать, это \( B_2 \) (поскольку \( B_1 = 10 \)). Мы знаем, что \( x = A_1 \) должно быть общее у Анны и Бориса.

Рассмотрим вариант числа, которое может называться Анной: Если \( x < 10 \), например, \( x = 3 \) или \( x = 6 \), то есть:

• Если \( A_1 = 3 \), то \( A_2, A_3 \) должны складываться так: \( A_2 + A_3 = 10 \). Но при этом число, в 3 раза меньше, чем 10 – 3. Это число могло бы быть выбрано.
• Если \( A_1 = 6 \), тогда \( A_2 + A_3 \) также должно иметь соответствие с числом 10.

С учетом всех данных повторим вывод:
Таким образом, подходит именно число 3, так как \( 3 < 10 \) и оно подходит под условие в 3 раза меньше 10. Значит, Анна назвала число 3.