Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе — полностью закрывает.…

Обозначим количество кувшинок, над которыми взмахнули трижды, как \( x \).

Каждая волшебница открывает или закрывает определенные кувшинки, и после всех их действий каждое отдельное растение должно оказаться раскрытым.

Пусть \( a \) — количество кувшинок, над которыми взмахнули дважды (то есть они оставались закрытыми, так как два взмаха открывают и закрывают однажды).

Составим уравнение с учетом количества кувшинок:

1. Первая волшебница открыла 117 кувшинок: \( x + a + (117 - x - a) = 117 \)
2. Вторая волшебница открыла 119 кувшинок: \( x + a + (119 - x - a) = 119 \)
3. Третья волшебница открыла 113 кувшинок: \( x + a + (113 - x - a) = 113 \)

Также знаем, что всего кувшинок 125:

\( x + a + (117 + 119 + 113 - x - a) = 125 \)

Теперь сформируем уравнения:

1. Обозначим количество кувшинок, открывшихся за один взмах, как \( y \): Потеря кувшинок, которые взмахнули трижды, должна составлять \( 3x + 2a + (125 - 2a - 3x) = 125 - 5 \), где \( 5 \) — количество кувшинок, открывшихся трижды.

Таким образом получается система:

1. \( 117 + 119 + 113 - 2a - x - y = 125 \)
2. Итого получается, что \( y = x + a - 5 \)

Сложив все три действия, и зная общее количество, можем выяснить, что между ими равенство:

\( x + a + 125 - 3x = 125 \)

Упрощаем уравнения. Применив простоlogic, имеем:

Каждая волшебница открывает разные кувшинки, поэтому:

\[ 117 + 119 + 113 - 125 = 224 \]

\( 3x + a = 224 \)

Решая это уравнение \( x \):

\[ 224 - 2*5 \] Получаем итог, что \( x = 5 \)

Таким образом, над \( x = 5 \) кувшинками волшебницы взмахнули трижды.