Nº 8 Простое число р таково, что для любых а и в числа 13а + 46 иа + 36 или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый…

Рассмотрим произведение \(13a + 46\) и \(a + 36\) для любого целого числа \(a\). Мы хотим найти такие простые числа \(p\), при которых выполнено условие: либо оба выражения делятся на \(p\), либо оба не делятся.

Для начала упростим оба выражения:

1. \(13a + 46 = 13(a + 3.538)\) и это выражение можно переписать как \(13a + 46 = 13(a + 3) + 7\).
2. Равенство \(a + 36\) остаётся без изменений.

Теперь проанализируем, когда оба члена делятся на \(p\). Рассмотрим различие двух выражений:

\[ (13a + 46) - 13(a + 36) = 13a + 46 - 13a - 468 = 46 - 468 = -422. \]

Таким образом, у нас есть выражение для разности, которое определяет, будет ли оба выражения делиться на \(p\).

Теперь, если \(p\) делит \(422\), то \(p\) должно делить также и \(13a + 46\) и \(a + 36\) для всех \(a\).

Найдём делители числа \(422\). Факторы \(422\) можно разложить на простые множители:

\[ 422 = 2 \times 211. \]

Следовательно, простые делители числа \(422\) — это \(2\) и \(211\).

Теперь проверим, подходят ли эти числа под условия задачи:

1. Если \(p = 2\):

   • \(13a + 46\) всегда будет чётным, так как будь \(a\) чётным или нечётным вдруг работает \(13a\) по тому же принципу и \(46\).
   • \(a + 36\) будет либо чётным, либо нечётным, в зависимости от \(a\) (чётное + чётное = чётное; нечётное + нечётное = чётное).

   В этом случае оба никогда не будут делиться или оба будут делиться на \(2\).

2. Если \(p = 211\), аналогично, нам также следует проверить. Так как \(13a\) и \(46\) меняют свою чётность с разными значениями, и если одно из них у нас делится на 211, то остальное тоже будет делиться.

Таким образом, подытожим. Все подходящие варианты для простого числа \(p\):

• 2
• 211

Ответы можно записать в отдельных полях:

1. 2
2. 211