(x²-25)(x-3)(1-x)≤0

Чтобы решить неравенство \((x²-25)(x-3)(1-x)≤0\), начнем с его факторизации и нахождения нулей:

1. Факторизуем \(x² - 25\) как \((x - 5)(x + 5)\). Теперь неравенство можно переписать в следующем виде: \[ (x - 5)(x + 5)(x - 3)(1 - x) ≤ 0 \]

2. Найдем нули каждого множителя:

   • \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
   • \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
   • \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)

Таким образом, нули равного выражения: \(x = -5, 1, 3, 5\).

3. Теперь определим интервалы и знаки выражения на каждом из них. Если мы рассмотрим числа на числовой прямой, наши ключевые точки разбивают ее на следующие интервалы:

   • \((-∞, -5)\)
   • \((-5, 1)\)
   • \((1, 3)\)
   • \((3, 5)\)
   • \((5, +∞)\)

4. Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и определим знак выражения:

   • Для интервала \((-∞, -5)\), например, \(x = -6\): \(( -6 - 5)( -6 + 5)( -6 - 3)(1 + 6) = (-)(-)(-)(+) = -\) (≤ 0)

   • Для интервала \((-5, 1)\), например, \(x = 0\): \(( 0 - 5)( 0 + 5)( 0 - 3)(1 - 0) = (-)(+)(-)(+) = +\) (не ≤ 0)

   • Для интервала \((1, 3)\), например, \(x = 2\): \(( 2 - 5)( 2 + 5)( 2 - 3)(1 - 2) = (-)(+)(-)(-) = -\) (≤ 0)

   • Для интервала \((3, 5)\), например, \(x = 4\): \(( 4 - 5)( 4 + 5)( 4 - 3)(1 - 4) = (-)(+)(+)(-) = +\) (не ≤ 0)

   • Для интервала \((5, +∞)\), например, \(x = 6\): \(( 6 - 5)( 6 + 5)( 6 - 3)(1 - 6) = (+)(+)(+)(-) = -\) (≤ 0)

5. Подведем итог знаков:

   • \((-∞, -5)\) : ≤ 0
   • \((-5, 1)\) : > 0
   • \((1, 3)\) : ≤ 0
   • \((3, 5)\) : > 0
   • \((5, +∞)\) : ≤ 0

6. Учтем, что нужно включить точки, где само выражение равно 0: Нули: \(x = -5, 1, 3, 5\).

7. Итоговое решение неравенства \((x²-25)(x-3)(1-x)≤0\): \[ x \in (-∞, -5] ∪ [1, 3] ∪ [5, +∞) \]

Вот и всё! Если есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, обращайтесь!