f(x)=2х³-х
Для функции \( f(x) = 2x^3 - x \) давайте рассмотрим несколько ее характеристик, таких как нахождение производной, исследование на экстремумы и график.
- Поиск производной:
Наш первый шаг — найти производную функции \( f(x) \). Производная \( f'(x) \) вычисляется следующим образом:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - x) = 6x^2 - 1 \]
- Нахождение критических точек:
Чтобы определить, где функция имеет экстремумы, мы найдем значения \( x \), при которых производная равна нулю:
\[ 6x^2 - 1 = 0 \] \[ 6x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{6} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \approx \pm 0.408 \]
- Исследование знака производной:
Теперь мы можем проанализировать производную на интервалах, чтобы понять, где функция возрастает и убывает.
- Для \( x < -\frac{1}{\sqrt{6}} \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).
- Для \( -\frac{1}{\sqrt{6}} < x < \frac{1}{\sqrt{6}} \): \( f'(x) < 0 \) (функция убывает).
- Для \( x > \frac{1}{\sqrt{6}} \): \( f'(x) > 0 \) (функция снова возрастает).
Таким образом, у нас есть максимум в точке \( x = -\frac{1}{\sqrt{6}} \) и минимум в точке \( x = \frac{1}{\sqrt{6}} \).
- Нахождение значений функции в критических точках:
Теперь рассчитаем значения функции в этих критических точках:
\[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = 2\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 - \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = 2\left(-\frac{1}{6\sqrt{6}}\right) + \frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{3\sqrt{6}} + \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{3\sqrt{6}} \]
\[ f\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 - \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = 2\left(\frac{1}{6\sqrt{6}}\right) - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3\sqrt{6}} - \frac{2}{3\sqrt{6}} = -\frac{1}{3\sqrt{6}} \]
- График функции:
График этой функции будет иметь форму кубической параболы, имеющей один максимум и один минимум. Функция растет в обе стороны за пределами этих точек, а между ними — убывает.
Если вам нужна дополнительная информация о том, как строить графики или анализировать функции, не стесняйтесь спрашивать!
