Найдите все натуральные n—такие, что найдется простое число p, для которого выполняется равенство 6n²+p+9=n(2p+21)

Для того чтобы найти все натуральные \( n \), такие что существует простое число \( p \), удовлетворяющее уравнению

\[ 6n^2 + p + 9 = n(2p + 21), \]

давайте последовательно преобразуем это уравнение.

Сначала раскроем скобки справа:

\[ 6n^2 + p + 9 = 2np + 21n. \]

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

\[ 6n^2 + p + 9 - 2np - 21n = 0. \]

Соберем подобные члены:

\[ 6n^2 - 21n + 9 + p - 2np = 0. \]

Теперь выразим \( p \):

\[ p(1 - 2n) = -6n^2 + 21n - 9. \] \[ p = \frac{-6n^2 + 21n - 9}{1 - 2n}. \]

Теперь важно, чтобы \( p \) было простым числом, а значит, \( \frac{-6n^2 + 21n - 9}{1 - 2n} \) должно быть натуральным.

Рассмотрим различные значения \( n \):

1. Если \( n = 1 \): \[ p = \frac{-6(1)^2 + 21(1) - 9}{1 - 2(1)} = \frac{-6 + 21 - 9}{1 - 2} = \frac{6}{-1} = -6 \quad (\text{не натуральное}). \]

2. Если \( n = 2 \): \[ p = \frac{-6(2)^2 + 21(2) - 9}{1 - 2(2)} = \frac{-24 + 42 - 9}{1 - 4} = \frac{9}{-3} = -3 \quad (\text{не натуральное}). \]

3. Если \( n = 3 \): \[ p = \frac{-6(3)^2 + 21(3) - 9}{1 - 2(3)} = \frac{-54 + 63 - 9}{1 - 6} = \frac{0}{-5} = 0 \quad (\text{не натуральное}). \]

Продолжая этот процесс:

4. Если \( n = 4 \): \[ p = \frac{-6(4)^2 + 21(4) - 9}{1 - 2(4)} = \frac{-96 + 84 - 9}{1 - 8} = \frac{-21}{-7} = 3 \quad (\text{простое}). \]

5. Если \( n = 5 \): \[ p = \frac{-6(5)^2 + 21(5) - 9}{1 - 2(5)} = \frac{-150 + 105 - 9}{1 - 10} = \frac{-54}{-9} = 6 \quad (\text{не простое}). \]

6. Если \( n = 6 \): \[ p = \frac{-6(6)^2 + 21(6) - 9}{1 - 2(6)} = \frac{-216 + 126 - 9}{1 - 12} = \frac{-99}{-11} = 9 \quad (\text{не простое}). \]

7. Если \( n = 7 \): \[ p = \frac{-6(7)^2 + 21(7) - 9}{1 - 2(7)} = \frac{-294 + 147 - 9}{1 - 14} = \frac{-156}{-13} = 12 \quad (\text{не простое}). \]

8. Если \( n = 8 \): \[ p = \frac{-6(8)^2 + 21(8) - 9}{1 - 2(8)} = \frac{-384 + 168 - 9}{1 - 16} = \frac{-225}{-15} = 15 \quad (\text{не простое}). \]

Мы видим, что \( n = 4 \) — единственное значение, для которого \( p \) натуральное простое число.

Таким образом, единственный натуральный \( n \), такой что существует простое \( p \) — это \( n = 4 \).