В городе 1234 жителя . В первый день семеро жителей города узнали новость . Во второй день каждый из них сообщил новость двум другим жителям . И так происходило каждый день : каждый человек , который знал новость , за день сообщал её двум другим . На -й день все жители города узнали новость . Какое наименьшее значение может принимать ?

Давайте рассмотрим эту ситуацию шаг за шагом. В первый день семеро жителей узнали новость. Каждый из них в следующий день сообщает новость двум другим жителям.

1. В первый день: 7 человек знают новость.
2. На второй день каждый из 7 человек сообщает новости двум другим, итого \( 7 \times 2 = 14 \) новых людей. Теперь имеют 7 + 14 = 21 человек.
3. На третий день каждый из 21 человека (известно, что не все из них были новыми, но это не важно для общего понимания) также сообщает новости двум другим: \( 21 \times 2 = 42 \). Итого 21 + 42 = 63 человека.
4. На четвертый день: \( 63 \times 2 = 126 \). Итого 63 + 126 = 189 человек.
5. На пятый день: \( 189 \times 2 = 378 \). Итого 189 + 378 = 567 человек.
6. На шестой день: \( 567 \times 2 = 1134 \). Итого 567 + 1134 = 1701 человек.

На шестой день все жители города уже узнали новость, поскольку в городе 1234 жителя, а на шестой день у нас 1701 человек, что больше, чем 1234.

Таким образом, вычислив, мы можем заключить, что новость доходила до всех жителей города к шестому дню.

Следовательно, наименьшее значение \( n \), при котором все жители города узнали новость, составляет 6.